Từ một điểm A nằm trên ngoài đường tròn (O; R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy 1 điểm M, vẽ MI vuông  AB, MK vuông AC ( I  ∈ AB, K  ∈ AC)
a) chứng minh AIMK là tứ giác nt đường tròn 
vì
MI vuông  AB => góc AIM=90o
MK vuông AC  => góc AKM = 90o
mà hai góc này là hai góc đối nhau
=>AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn

b.
Ta có:
MKC^+MPC^=180oMKC^+MPC^=180o

→→ Tứ giác MPCK nt đtròn đkính MC

→MPK^=MCK^  (1)→MPK^=MCK^  (1) (góc nt cùng chắn MK⌢MK⌢ )

Xét (O;R), ta có:

MBC^=MCK^  (2)MBC^=MCK^  (2) (góc nt và góc tt với dây cung cùng chắn MC⌢MC⌢ )

K/h (1),(2) : MPK^=MBC^  (3)

A)        Ta có : MI⊥⊥AB =) góc AIM =90* ; MK vuông AC suy ra góc AKM =90* ; xét tứ giác AIMK có tổng 2 góc đối AIM và AKM =180* suy ra tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn .(đpcm)
B)        MK vuông AC nên góc MKC = 90* ; MP vuông BC nên góc MPC=90* , xét tứ giác MPCK có tổng 2 góc đối MKC và MPC =180* suy ra tứ giác MPKC nội tiếp đường tròn =)góc MPK =góc MCK (2 góc nội tiếp đường tròn cùng chắn cung MK)
Xét (O;R) : góc MBC= góc MCK ( góc nội tiếp và góc tạo bởi 2 tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung MC)
=)góc MPK= góc MBC (đpcm)
C)        Ta có MI vuông AB =) góc MIB=90* ; MP vuông BC =) góc MPB =90* ; xét tứ giác MIBP có tổng 2 góc đối = 180* nên tứ giác MIBP nội tiếp đường tròn =) góc MIP = góc MBP ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung MP )
mà góc MPK = góc MBC =) góc MPK = góc MIP (1)
Lại có : góc IBM = góc MCB ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung MB)
mà góc IBM = góc IPM ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung IM) =) góc MCB = góc IPM hay góc MCP = góc IPM 
mà góc MCP =góc MKP ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung MP ) =) góc IPM = góc MKP (2)
Từ (1) và (2) =) 2 tam giác IMP và PMK bằng nhau (g.g) =) IM/PM = MP/MK  (=) MP^2 = MI.MK  (=) MP^3 =MI.MK.MP   =) (MI.MK.MP)max (=) MP max  (=) M là điểm nằm chính giữa cung nhỏ BC 

c. lần lượt CM:

MPK^=MIP^  (4)MPK^=MIP^  (4)

MPI^=MKP^MPI^=MKP^

→ΔMIP∼ΔMPK→ΔMIP∼ΔMPK

Tỉ số đồng dạng :

MIMP=MPMKMIMP=MPMK

→MP2=MI.MK→MP2=MI.MK

→MP3=MI.MK.MP→MP3=MI.MK.MP

MI.MK.MPMax↔MPMaxMI.MK.MPMax↔MPMax

Ta có: MP+OH≤RMP+OH≤R

→MP≤R−OH→MP≤R−OH

→MPMax→MPMax bằng R-OH. Khi O,H,M thẳng hàng

Vậy MI.MK.MPMax=(R−OH)3MI.MK.MPMax=(R−OH)3 khi O,H,M thẳng hàng