a) Xét ΔSMAΔSMA và ΔSBCΔSBC có:

ˆSS^ chung

ˆSAM=ˆSCBSAM^=SCB^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB của (O))

⇒ΔSMA∼ΔSBC⇒ΔSMA∼ΔSBC (g.g)

b) Do CD⊥ABCD⊥AB (giả thiết) ⇒AB⇒AB là đường trung trực của CDCD (liên hệ giữa đường kính và dây cung)

⇒AC=AD⇒AC=AD (tích chất đường trung trực)

⇒⇒ cung AC=AC= cung ADAD (hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau)

⇒ˆAMD=ˆABC⇒AMD^=ABC^ (góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)

⇒ˆKBH=ˆKMH⇒KBH^=KMH^ mà hai góc này cùng nhìn cạnh HK

⇒BMHK⇒BMHK nội tiếp

c) Kẻ đường kính MNMN

Xét ΔAONΔAON và ΔBOMΔBOM có:

OA=OB=ROA=OB=R

ˆAON=ˆBOMAON^=BOM^ (đối đỉnh)

ON=OM=RON=OM=R

⇒ΔAON=ΔBOM⇒ΔAON=ΔBOM (c.g.c)

⇒AN=BM⇒AN=BM (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

cung AN=AN= cung BMBM (hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau)

Ta có:

ˆASC=sđ⌢AC−sđ⌢BM2ASC^=sđAC⌢−sđBM⌢2 (tích chất góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn) (1)

ˆNMD=12⌢DNNMD^=12DN⌢ (tính chất góc nội tiếp)

ˆNMD=sđ⌢AD−sđ⌢AN2NMD^=sđAD⌢−sđAN⌢2 (2)

Mà ⌢AC=⌢ADAC⌢=AD⌢ (3)

⌢AN=⌢MBAN⌢=MB⌢ (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra ˆASC=ˆNMDASC^=NMD^ hay ˆOMK=ˆOSMOMK^=OSM^

Xét ΔOKMΔOKM và ΔOMSΔOMS  có:

ˆMOSMOS^ chung

ˆOMK=ˆOSMOMK^=OSM^ (cmt)

⇒ΔOKM∼ΔOMS⇒ΔOKM∼ΔOMS (g.g)

⇒OKOM=OMOS⇒OKOM=OMOS (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒OK.OS=OM2=R2⇒OK.OS=OM2=R2.