Câu c:
Xét ΔBMN và ΔBIC, có:
$\hat{B}$ chung
$\widehat{MNB}=\widehat{BIC}=90°$ (đây là 2 góc nt chắn nửa đường tròn)
do đó: ΔBMN đồng dạng ΔBIC (g-g)
$$\begin{gathered} \iff \frac{BM}{BC}=\frac{BN}{BI} \\ \iff BM.BI=BC.BN \left(1\right) \end{gathered}$$
Xét ΔCMN và ΔCBA, có: 
$\hat{C}$ chung
$\widehat{MNC}=\widehat{BAC}=90°$ (góc nt chắn nửa đường tròn)
do đó: ΔCMN đồng dạng ΔCBA (g-g)
$$\begin{gathered} \iff \frac{CM}{CB}=\frac{CN}{CA} \\ \iff CM.CA=CB.CN \left(2\right) \end{gathered}$$
(1) (2) => BM.BI + CM.CA = BC.BN + BC.CN = BC(BN + CN) = BC.BC = BC^2   (*)
Xét ΔABC vuông tại A:
$A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2 \left(Pytago\right) \left(**\right)$
(*)(**) => BM.BI + CM.CA = $A{B}^2+A{C}^2$