b) FM// HC (⊥AC)
⇒ góc FMB = góc BCH
mà góc BCH = góc DBM ( tam giác ABC cân tại A)
xét tam giác DBM và tam giác FMB CÓ 
 góc BDM= góc BFM =90°
BM : cạnh chung
góc DBM = góc FMB 
⇒ TAM GIÁC DMB = tam giác FMB (cạnh huyền - góc nhọn)

c)Theo a, ta có tam giác DBM = tam giác FMB( cạnh huyền- góc nhọn)

=> MD = BF (hai cạnh tương ứng) (*)

Ta có : FH vuông góc với AC(1)

ME vuông góc với AC(2)

Từ (1) và (2) suy ra: FH // ME

=> góc H1 = góc M3 (hai góc so le trong)

Xét tam giác MFH và tam giác HEM ta có:

HM: cạnh chung

Góc H1 = góc M3 (cmt)

Suy ra tam giác MFH = tam giác HEM (cạnh huyền - góc nhọn)

=>FH = ME (hai cạnh tương ứng) (**)

Từ (*) và (**) suy ra: MD + ME = BF + FH = BH

Suy ra : BH không đổi

=> MD + ME không đổi

d) Kẻ DN // AC cắt BC tại N
        DK cắt BC tại I
Ta có:  góc DBN = góc C
          góc C = góc DNB (2 góc đồng vị )
⇒ tam giác BDN cân tại D ⇒DB=DN

tam giác DBM= tam giác FMB ⇒ DB=MF

MF=HE=CK ⇒BD=CK
⇒DN=CK
​⇒ tam giác DNI= TAM GIÁC KCI (g.c.g)

⇒ID=IK⇒I là trung điểm DK