3.Ta có: a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca 
<=> 2.a^2 + 2.b^2 + 2.c^2 = 2.ab + 2.bc + 2.ca 
<=> ( a^2 - 2ab + b^2 ) + ( b^2 - 2bc +c^2 ) + ( c^2 - 2ac + a^2 ) =0 
<=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c -a)^2 =0 (1) 
Vì (a-b)^2 ; (b-c)^2 ; (c -a)^2 ≧ 0 với mọi a,b,c. 
=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c -a)^2 ≧ 0 (2) 
Từ (1) và (2) khẳng định dấu "=" khi: 
a - b = 0; b - c = 0 ; c - a = 0 => a=b=c 
Vậy a=b=c.
=> đpcm

5. 2003.2005=(2004 - 1)(2004 + 1)=2004^2 - 1 nhỏ hơn 2004^2

ta có:
a : 5 dư 4 => a = 5k + 4 (với k ∈N)
=> a2 = (5k + 4) (5k + 4) (với k ∈N)
=> a2 = 5k (5k + 4) + 4(5k +4)
=> a2 = (5k + 4) . 5k + 5.4k + 3.5 + 1 chia 5 dư 1

 

 

3.Ta có: a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca 
<=> 2.a^2 + 2.b^2 + 2.c^2 = 2.ab + 2.bc + 2.ca 
<=> ( a^2 - 2ab + b^2 ) + ( b^2 - 2bc +c^2 ) + ( c^2 - 2ac + a^2 ) =0 
<=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c -a)^2 =0 (1) 
Vì (a-b)^2 ; (b-c)^2 ; (c -a)^2 ≧ 0 với mọi a,b,c. 
=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c -a)^2 ≧ 0 (2) 
Từ (1) và (2) khẳng định dấu "=" khi: 
a - b = 0; b - c = 0 ; c - a = 0 => a=b=c 
Vậy a=b=c.(đpcm)

5. 2003.2005=(2004 - 1)(2004 + 1)=2004^2 - 1 nhỏ hơn 2004^2

(2n + 3)^2 - (2n - 1)^2 =  4.(4n + 2) <hđt số 3> = 8.(2n + 1) chia hết cho 8 =>đpcm