Chào bạn nhé! Mình là Sad. Đối với bài toán này, theo mình thì dùng phương pháp quy nạp là tốt nhất. Nếu bạn chưa biết gì về phương pháp quy nạp , hãy tìm hiểu trước khi đọc tiếp nhé. @_@

Giải bài toán bằng phương pháp quy nạp:

- Xét n = 1 thì $\sqrt{1^3}=1$ (đúng)
Giả sử mệnh đề đúng với n = k , khi đó:
$\sqrt{1^3+ ... + k^3}= 1 + ... + k \Rightarrow 1^3+ ... + k^3 = {(1+...+k)}^2$ 
Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi $n\in N*$, cần chứng minh nó đúng  với n = k + 1.
Thật vậy:
$$\begin{gathered} \sqrt{1^3+...+k^3+{(k+1)}^3}=1+...+k+(k+1) \\ \iff 1^3+...+k^3+{(k+1)}^3 = {[1+...+k+(k+1\left)\right]}^2 \iff (1+...+k{)}^2 + {(k+1)}^3 = {[1+...+k+(k+1\left)\right]}^2 \\ \iff {(k+1)}^3 = {[1+...+k+(k+1\left)\right]}^2-(1+...+k{)}^2 \iff {(k+1)}^3 = (k+1)\times [ 2\times (1+...+k) + (k+1) ] \\ \iff {(k+1)}^2 = 2\times (1+...+k) + (k+1) \\ \iff {(k+1)}^2 = 2\times \frac{k(k+1)}{2}+(k+1) \\ \iff {(k+1)}^2 = k(k+1)+(k+1) \\ \iff {(k+1)}^2 = {(k+1)}^2 (luôn đúng) \end{gathered}$$
Vậy theo nguyên lý quy nạp, mệnh đề đúng với mọi $n \in N*$