d) cos^4x + sin^4x = 1 - (1/2)sin^2(2x) = 1 - (1/4)(1 - cos4x) = (3 + cos4x)/4. Từ đó phương trình ban đầu tương đương với
(3 + cos4x)/4 + cos^2(4x) = m;
hay
4cos^2(4x) + cos4x + 3 = 4m.
Đặt t = cos4x, thế thì ta có phương trình 4t^2 + t + 3 = 4m (*).
Với mỗi nghiệm t của (*) thỏa mãn -1 <= t < 1 thì ta được hai nghiệm x của phương trình ban đầu thỏa mãn -pi/4 <= x <= pi/4. Từ đó, điều kiện để phương trình ban đầu có bốn nghiệm phân biệt x thuộc [-pi/4 ; pi/4] là (*) phải có hai nghiệm phân biệt t thuộc [-1 ; 1).
Xét hàm số
f(t) = 4t^2 + t + 3, với t thuộc [-1 ; 1).
Đạo hàm của f là
f'(t) = 8t + 1, với t thuộc (-1 ; 1).
Giải f'(t) = 0 và nhận nghiệm t thuộc (-1 ; 1) ta được t = -1/8. Lập bảng biến thiên của f trên [-1 ; 1) ta được kết quả sau.
Với -1 <= t <= 1/8, f giảm từ f(-1) = 6 xuống f(-1/8) = 47/16.
Với -1/8 <= t < 1, f tăng từ f(-1/8) = 47/16 lên đến 8.
Từ kết quả này cho thấy, (*) có hai nghiệm phân biệt thuộc [-1 ; 1) khi 47/16 < 4m <= 6, tức là 47/64 < m <= 3/2