a) Vì D là điềm đối xứng với H qua AC

⇒AB là đường trung trực của DH
⇒AH=AD (1)
Vì E đối xứng với H qua AB

⇒ AB là đường trung trực của HE
⇒AH=AE (2)
Từ (1) và (2)⇒ AD=AE (3)
Mặt khác: ^DAB=^BAH; ^HAC=^CAE và ^BAH+^HAC=90*
Do đó ^DAB+^BAH+ ^HAC+^CAE=180*
⇒ D, A, E thẳng hàng (4)
Từ (3) và (4)⇒D và E đối xứng với nhau qua A. (đpcm)

b) Xét tam giác DHE có:

HA là trung tuyến và HA= 1/2 DE
⇒ Tam giác DHE vuông tại H.(đpcm)

c)Ta có:

Tam giác ADB= Tam giác AHB (c-c-c)
⇒ ^ADB=^AHB=90*
Tương tự ta có: ^AEC=90*
⇒ BD//CE (cùng vuông góc với DE)
⇒ Tứ giác BAEC là hình thang có 2 góc vuông kề cạnh bên DE
⇒BAEC là hình thang vuông. (đpcm)

d) Do AB là đường trung trực của DH nên BD=BH (5)
Do AC là đường trung trực của EH nên CE=CH (6)
Cộng vế với vế của (5) và (6) ta có:

BD+CE=BH+CH
Hay BD+CE=BC

Vậy BC= BE+ DC( đpcm).