a) Tứ giác AMKO nội tiếp đường tròn.

Ta có : ˆAMO=90oAMO^=90o (Do AM là tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại M)

Ta có ˆAMO=ˆAKO=900AMO^=AKO^=900 (gt) ⇒⇒ Tứ giác AMKO có hai đỉnh M, K kề nhau cùng nhìn cạnh AO dưới 1 góc 900

⇒⇒ Tứ giác AMKO là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).

b) KA là tia phân giác của góc MKN.

Ta có : ˆANO=90oANO^=90o (Do AN là tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại N)

Xét tứ giác ANOK có ˆANO+ˆAKO=900+900=1800⇒ANO^+AKO^=900+900=1800⇒ Tứ giác ANOK là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800)

Tứ giác AMKO nội tiếp ⇒ˆAKM=ˆAOM⇒AKM^=AOM^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM)

Tứ giác ANOK nội tiếp ⇒ˆAKN=ˆAON⇒AKN^=AON^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN)

Mà ˆAOM=ˆAONAOM^=AON^ (tính chất hai tiếp tuyến AM và AN cắt nhau tại A).

⇒ˆAKM=ˆAKN⇒KA⇒AKM^=AKN^⇒KA là phân giác của góc MKN.

c) AN2=AK.AHAN2=AK.AH

Ta có AM=ANAM=AN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒A⇒A thuộc trung trực của MN.

OM=ON(=R)⇒OOM=ON(=R)⇒O thuộc trung trực của MN.

⇒OA⇒OA là trung trực của MN ⇒OA⊥MN⇒OA⊥MN.

⇒ˆAMN=ˆAOM⇒AMN^=AOM^ (cùng phụ với góc OAM).

Mà ˆAKM=ˆAOM(cmt)⇒ˆAKM=ˆAMN=ˆAMHAKM^=AOM^(cmt)⇒AKM^=AMN^=AMH^

Xét tam giác AMH và tam giác AKM có :

ˆMAKMAK^ chung ;

ˆAKM=ˆAMH(cmt)AKM^=AMH^(cmt) ;

⇒ΔAMH∽ΔAKM(g.g)⇒AMAH=AKAM⇒AM2=AH.AK⇒ΔAMH∽ΔAKM(g.g)⇒AMAH=AKAM⇒AM2=AH.AK

Mà AM=AN(cmt)⇒AN2=AH.AKAM=AN(cmt)⇒AN2=AH.AK

d) H là trực tâm tam giác ABC.

Gọi DD là giao điểm của ACAC và (O).(O).

Xét  ΔADNΔADN và ΔACNΔACN ta có :

∠CANchung∠CANchung

∠DNA=∠DCN∠DNA=∠DCN (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung DNDN)

⇒ΔADN∼ΔACN(g−g)⇒AD.AC=AN2⇒AD.AC=AH.AK(theocmb)⇒AHAC=ADAK⇒ΔADN∼ΔACN(g−g)⇒AD.AC=AN2⇒AD.AC=AH.AK(theocmb)⇒AHAC=ADAK

Xét ΔAHDΔAHD và ΔACKΔACK ta có :

∠KACchungAHAC=ADAK(cmt)⇒ΔAHD∼ΔACK(c−g−c)⇒∠AKC=∠ADH=900.⇒HD⊥DC∠KACchungAHAC=ADAK(cmt)⇒ΔAHD∼ΔACK(c−g−c)⇒∠AKC=∠ADH=900.⇒HD⊥DC

Lại có DB⊥DC⇒B,H,DDB⊥DC⇒B,H,D thẳng hàng.

Hay BH⊥AC.BH⊥AC.

Xét ΔABCΔABC ta có BD,AHBD,AH là hai đường cao của tam giác mà BD∩AH={H}⇒HBD∩AH={H}⇒H là trực tâm của ΔABC(dpcm)