a/ Xét tứ giác AEBM có :

+) D là trung điểm của AB

+) D là trung điểm của EM

⇔⇔ Tứ giác AEBM là hình bình hành

Xét ΔABCΔABC có AM là đường trung tuyến

⇔⇔ AM=MB=12BCAM=MB=12BC

Xét hình bình hành AEBM có AM = MB

⇔⇔ Tứ giác AEBM là hình thoi (đpcm)

 Tứ giác AEBM là hình thoi (ý a)

⇔AB⊥EM⇔AB⊥EM

Mà AB⊥ACAB⊥AC

⇔EM∖∖AC⇔EM∖∖AC

Xét ΔABCΔABC có :

+) D là trung điểm của AB

+) M là trung điểm của BC

⇔DM⇔DM là đường trung bình của ΔABCΔABC

⇔DM=12AC⇔DM=12AC

Mà DM=12EMDM=12EM

⇔AC=EM⇔AC=EM

Xét tứ giác ACEM có :

{AC∖∖EMAC=EM{AC∖∖EMAC=EM

⇔⇔ Tứ giác ACEM là hình bình hành

⇔AM⇔AM và ECEC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà I là trung điểm của AM

⇔⇔ I là trung điểm của EC

⇔E,I,C⇔E,I,C thẳng hàng (đpcm)(đpcm)

d/ Để hình thoi AEBM là hình vuông

⇔AB=EM⇔AB=EM

Mà EM=ACEM=AC

⇔AB=AC⇔AB=AC

⇔ΔABC⇔ΔABC vuông cân tại A

Vậy tam giác ABC vuông cân tại A thì hình thoi AEBM là hình vuông