a) Do K, N là trung điểm BC, AC nên KN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra

KN=1/2AB và KN//AB

Lại có AB⊥AC  nên KN⊥AC

Do đó tứ giác ABKN là hình thang với AB⊥AN và NK⊥AN

Vậy tứ giác ABKN là hình thang vuông tại A và N.
b)

Xét tứ giác MBNQ có BM//NQ 

Vậy tứ giác MBNQ là hình bình hành.

Vậy QN=MB=1/2AB

Lại có KN=1/2AB 

Vậy N là trung điểm QK.

Lại có N là trung điểm AC nên N là tâm đối xứng của tứ giác AKCQ.

Vậy tứ giác AKCQ là hình bình hành.

Lại có AC⊥QK . Do đó tứ giác này là hình thoi.

Do tứ giác MBNQ là hình bình hành mà MN giao BQ tại O nên O là trung điểm MN.

Xét tứ giác AMKN có

ˆKMA=ˆMAN=ˆANK=90∘

Do đó tứ giác AMKN là hình chữ nhật, suy ra AK giao MN tại trung điểm mỗi đường.

Lại có O là trung điểm MN nên O là trung điểm AK.

Xét tam giác KQB có O, N là trung điểm QB, KQ nên BN, KO là trung tuyến của tam giác KQB.

Lại có BN giao KO tại I. Do đó I là trọng tâm của tam giác KQB. Suy ra

IO=1/3OK=1/3.1/2AK=1/6 (do O là trung điểm AK).

Xét tam giác ABC vuông tại A có AK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC, do đó

AK=1/2BC=1/2.24=12 (cm)

Do đó: OI=1/6AK=1/6.24=4  (cm)