a, Tứ giác ABDC có 2 đường chéo BC, AD cắt nhau tại N là trung điểm mỗi đường

⇒ ABDC là hình bình hành

Mà BA ⊥ CA

⇒ ABDC là hình chữ nhật (đpcm)

b, Tứ giác ANCE có 2 đường chéo AC, NE cắt nhau tại I là trung điểm mỗi đường

⇒ ANCE là hình bình hành

Do E là điểm đối xứng của N qua I, I ∈ AC nên NE ⊥ AC

⇒ ANCE là hình thoi (đpcm)

c, Xét ΔABD có BN, DM là 2 trung tuyến cắt nhau tại G

⇒ G là trọng tâm ΔABD

⇒ BG = 2/3BN = 2/3.1/2BC = 1/3BC

Xét ΔACD có CN, DI là 2 trung tuyến cắt nhau tại G'

⇒ G' là trọng tâm ΔACD

⇒ CG' = 2/3CN = 2/3.1/2BC = 1/3BC

Suy ra: BG = CG' (đpcm)

d, ABDC là hình chữ nhật
⇒ BD = AC = 12cm; CD = AB = 10cm

Ta có: BG = CG' = 1/3BC

⇒ GG' = BC - 2.1/3BC = 1/3BC

ΔDGG' có cùng đường cao hạ từ D với ΔBDC và có cạnh đáy tương ứng GG' = 1/3BC

⇒ SDGG′ = 1/3.SBDC = 1/3.1/2.BD.CD
                 = 1/3.1/2.10.12 = 20 cm2