Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol \(y =  \frac{1}{x}\):
a) Tại điểm \((  \frac{1}{2} ; 2)\)
b) Tại điểm có hoành độ bằng \(-1\);
c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng -\( \frac{1}{4}\).
Giải:
Bằng định nghĩa ta tính được \(y' = - \frac{1}{x^{2}}\).
a) \(y'  \left ( \frac{1}{2} \right )= -4\). Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(-4\). Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm \((  \frac{1}{2} ; 2)\) là \(y - 2 = -4(x -  \frac{1}{2})\) hay \(y = -4x + 4\).
b) \(y' (-1) = -1\). Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(-1\). Ngoài ra, ta có \(y(-1) = -1\). Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ là \(-1\) là \(y - (-1) = -[x - (-1)]\) hay \(y = -x - 2\).
c) Gọi \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm. Ta có
\(y' (x_0) = -  \frac{1}{4} \Leftrightarrow -  \frac{1}{x_{0}^{2}} = -  \frac{1}{4}\)\(\Leftrightarrow x_{0}^{2} = 4 \Leftrightarrow x_{0}=  ±2\).
Với \(x_{0}= 2\) ta có \(y(2) =  \frac{1}{2}\), phương trình tiếp tuyến là
     \(y -  \frac{1}{2} = - \frac{1}{4}(x - 2)\) hay \(y =  \frac{1}{4}x + 1\).
Với \(x_{0} = -2\) ta có \(y (-2) = - \frac{1}{2}\), phương trình tiếp tuyến là
    \(y -  \left ( -\frac{1}{2} \right ) = - \frac{1}{4}[x - (-2)]\) hay \(y = -  \frac{1}{4}x -1\)