Gọi số đó là A.

Từ giả thiết ta có : 

{A=5k+3A=7t+4{A=5k+3A=7t+4 với k,tεNk,tεN ⇒{21A=105k+6320A=140t+80⇒{21A=105k+6320A=140t+80

⇒⇒ A = 35 (3k - 4t - 1) + 18  (đặt) = 35x + 18 (1)

Và {A=9m+5A=11n+6{A=9m+5A=11n+6 với m,nϵNm,nϵN ⇒⇒ {44A=396m+22045A=495n+270{44A=396m+22045A=495n+270

⇒⇒ A = 99 (5n - 4m) + 50  (đặt) = 99y + 50 (2)

(Nháp :Theo thuật toán Euclid ta có :

99 = 35 . 2 + 29

35 = 29 . 1 + 6

29 = 6 . 5 - 1

⇒⇒ 1 = 6.5 - 29 = (35 - 29). 5 - 29 = 35.5 - 29.6 = 35.5 - (99 - 35.2).6 = 35. 17 -  99.6 = 595 - 594 )

Từ (1) và (2) ta có :

{594A=20790x+10692595A=58905y+29750{594A=20790x+10692595A=58905y+29750

⇒⇒ A = 3465 (17y - 6x + 5) + 1733 (đặt) = 3465z + 1733

Có A > 99.999.999 ⇒⇒ z > 28859⇒⇒ Số nhỏ nhất là 28860. 3465 + 1733 = 100.001.633

Có A < 1.000.000.000 ⇒⇒ z ≤≤ 288599 ⇒⇒ Số lớn nhất là 288599. 3465 + 1733 = 999.997.268