Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp được trong một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.

Ta có ΔAFHΔAFH vuông tại F(doCF⊥AB)⇒A, F, HF(doCF⊥AB)⇒A, F, H cùng thuộc đường tròn đường kính AH.AH.    (1)

ΔAEHΔAEH vuông tại E(doBE⊥AC)⇒A, E, HE(doBE⊥AC)⇒A, E, H cùng thuộc đường tròn đường kính AH.AH.    (2)

Từ (1) và (2) ta có 4 điểm A, E, F, HA, E, F, H cùng thuộc đường tròn tâm là trung điểm của AHAH và bán kính R=AH2.R=AH2.

Hay tứ giác AEHFAEHF nội tiếp đường tròn tâm là trung điểm của AHAH và bán kính R=AH2.R=AH2.

b) Gọi M là giao điểm của EF và BC, đường thẳng MA cắt (O) tại điểm thứ hai là I khác A. Chứng minh tứ giác AEFI nội tiếp được một đường tròn.

Xét tứ giác BCEFBCEF ta có: ∠BFC=∠BEC=900∠BFC=∠BEC=900 là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn đoạn BCBC

⇒BCEF⇒BCEF là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

⇒∠MFB=∠ECM⇒∠MFB=∠ECM (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Xét ΔMBFΔMBF và ΔMECΔMEC ta có:

∠FBM=∠ECM(cmt)∠Mchung⇒ΔMBF∼ΔMEC(g−g)⇒MBME=MFMC⇔MB.MC=ME.MF∠FBM=∠ECM(cmt)∠Mchung⇒ΔMBF∼ΔMEC(g−g)⇒MBME=MFMC⇔MB.MC=ME.MF

Lại có AIBCAIBC là tứ giác nội tiếp đường tròn (O).(O).

⇒∠MIB=∠ACB⇒∠MIB=∠ACB (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Xét ΔMBIΔMBI và ΔMACΔMAC ta có:

∠MIB=∠MCA(cmt)∠Mchung⇒ΔMBI∼ΔMAC(g−g)⇒MBMA=MIMC⇔MB.MC=MI.MA⇒MI.MA=ME.MF(=MB.MC).⇒MIME=MFMA∠MIB=∠MCA(cmt)∠Mchung⇒ΔMBI∼ΔMAC(g−g)⇒MBMA=MIMC⇔MB.MC=MI.MA⇒MI.MA=ME.MF(=MB.MC).⇒MIME=MFMA

Xét ΔMIFΔMIF và ΔMEAΔMEA ta có:

∠MchungMIME=MFMA(cmt)⇒ΔMIF∼ΔMEA(c−g−c)∠MchungMIME=MFMA(cmt)⇒ΔMIF∼ΔMEA(c−g−c)

⇒∠MIF=∠MEA⇒∠MIF=∠MEA (hai góc tương ứng)

⇒AIFE⇒AIFE là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).