1.
Xét tứ giác  ADHE có:
$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{ADH}=\angle \mathrm{AEH}=90° (\mathrm{giả} \mathrm{thiết})$

$\Rightarrow \mathrm{Tứ} \mathrm{giác} \mathrm{ADHE} \mathrm{là} \mathrm{hình} \mathrm{chữ} \mathrm{nhật}$

=> DE = AH (đpcm)

2.
ΔECH vuông tại  E
=> EQ = HQ = $\frac{\mathrm{HC}}{2}$ (1)

Có tứ giác ADHE là hình chữ nhật ( suy ra từ a)

=> OH = OE = OD (2)

Xét ΔQEO và ΔQHO có :

HQ = EQ [ từ (1)]

OH = OE (từ (2)]

OQ cạnh  chung

=> ΔQEO = ΔQHO ( c.c.c )

$\Rightarrow \angle \mathrm{OHQ}=\angle \mathrm{OEQ}$ ( hai góc tương ứng)
mà $\angle \mathrm{OHQ}=90°$
$$\begin{gathered} \Rightarrow \angle \mathrm{OEQ}=90° \\ \Rightarrow \mathrm{EQ}\perp \mathrm{DE} \left(3\right) \end{gathered}$$

Chứng minh tương tự  , được ΔDPO = ΔHPO ( c.c.c )
=> PD ⊥ DE (4)

Có:  EQ⊥DE [ từ (3)]
       PD⊥DE [ từ (4)]
 => EQ // PD
=> Tứ giác  DEQP là hình thang

mà $\angle \mathrm{PDE}=90°$ [ từ (4)]
 => Tứ giác  DEQP là hình thang cân
3.
Ta chứng minh  được QO là đường trung bình ΔAHC

=> QO // AC mà AC ⊥ AB
=> QO ⊥ AB

=> QO là đường cao ΔABQ tại đỉnh B

ΔABQ có AH , QO lần lượt là đường cao của BQ và AB

mà $\mathrm{AH}\cap \mathrm{QO} \mathrm{tại} \mathrm{O}$

=> O là trực tâm ΔABQ