Chứng minh BM vuông với BN
Gọi chân đường cao kẻ từ A xuống CA, AB, CB lần lượt là H; I; K
Theo bài ra ta có: NM vuông góc AO

=> ^NAO =90^o  => ^NAB + ^OAB =90^o  (1) 

=> ^HAN + ^CAO =90^o   (2)

Và ta có: BO; CO là 2 đường phân giác góc B, C của tan giác ABC

=> AO là phân giác góc A của tam giác ABC

=> ^BAO = ^CAO (3)

Từ (1); (2); (3)

=> ^HAN = ^NAB  hay AN là phân giác góc ngoài của tam giác ABC tại đỉnh A

Xét tam giác vuông HNA và tam giác vuông INA  có: AN chung và ^HAN = ^NAB  ( chứng minh trên)

=> Tam giác HNA = tam giác INA 

=> NH=NI   (4)

Xét tam giác vuông CHN và ta, giác vuông CKN có: CN chung và ^HCN = ^KCN  ( vì N thuộc phân giác góc C của tam giác ABC)

=> Tam giác CHN = Tam giác CKN

=> NH=NK (5)

Từ (4) ; (5)

=> NI=NK

Xét tam giác vuông NKB và tam giác vuông NIB có: NI=NK ( chứng minh trên) và NB chung

=> Tam giác NKB =tam giác NIB

=> ^ KBN =^IBN = 1/2 ^ABK 

Mặt khác ^ABM =^CBM =1/2 ^ABC ( M thuộc phân giác góc B)

=> ^NBM =^IBN +^ABM = 1/2 ^ABK +1/2 ^ABC =1/2 ( ^ABK + ^ABC )=1/2 . 180^o =90 ^o

=> BM vuông góc BN