1) Vì O và P cố định ==> độ dài đoạn OP không đổi . Ta đặt OP= 2a (a>0).

Tứ giác OHPK nội tiếp (vì tổng 2 góc đối diện bằng 180 độ ) đường tròn đường kính OP.

Gọi M là trung điểm OP ==>OM=MP=MH=MK=a/2

góc nội tiếp HOK = 60 độ (gt)==>góc ở tâm HMK= 120 độ .

Với I là trung điểm HK ==>góc HMI =60 độ

==>IH=MH.sin60 độ = (acăn3)/2

vậy HK = acăn3 (không đổi )

Mặt khác, góc AKB = góc AHB (cùng = 90 độ ) ==> tứ giác AHKB nội tiếp (vì 2 đỉnh H và K cùng nhìn AB dưới 1 góc vuông )đường kính AB, tâm là trung điểm N của AB .

mà góc OAK = 30 độ ( vì góc O = 60 độ và góc K vuông )là góc nội tiếp đường tròn (N)

==>góc ở tâm HNK = 60 độ

và NH =NK (bk (N))

==> tam giác NHK đều ==>HK = NH = NK =acăn3

==> AB = 2acăn3 (không đổi )

2)Do cmt , góc HMK = 120 độ

mà góc HNK = 60 độ

==>góc HMK +góc HNK = 180 độ

==> tứ giác HMKN nội tiếp ( tổng 2 góc đối bằng 180 độ )

3)Ta có OP cố định ==> trung điểm M của OP cố định

Vậy MI = MH. cosHMI = a. cos 60độ =a/2 không đổi

I cách M một khoảng a/2 không đổi nên I di động trên đường tròn tâm M bán kính a/2