32. -Gọi M là giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài B1 và C1 của ∆ABC.

-Kẻ MI⊥AB; MH⊥BC; MK⊥AC (H∈BC, I∈AB, K∈AC) .

-Vì M nằm trên tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh B nên MH=MI(Theo định lí 1)

-Vì M nằm trên tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh C nên MH=MK (Theo định lí 1)

⇒MI=MK (vì cùng bằng MHMH).

⇒ M thuộc phân giác của góc BAC^ (Theo định lí 2).
33. a) Vì Ot là tia phân giác của xOy^ .

Nên ˆyOt=ˆxOt=12ˆxOy.

Ot′ là tia phân giác của ˆxOy′

nên ˆxOt′=ˆy′Ot′= 1/2 ˆxOy′

⇒ˆxOt+ˆxOt′=1/2ˆxOy+1/2ˆxOy′=1/2(ˆxOy+ˆxOy′)=12(xOy^+xOy′^)

Mà ˆxOy + ˆxOy′=180o (2 góc kề bù)

⇒ ˆxOt + ˆxOt′ =1/2.180o=90o

Vậy hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc vuông.

b) Nếu M thuộc Ot hoặc Ot′ thì M cách đều hai đường thẳng xx′ và yy′.

Thật vậy, giả sử M∈Ot.

Do Ot là phân giác của ˆxOy nên M cách đều Ox,Oy (Theo định lí 1)

⇒ M cách đều xx′,yy′

Nếu M∈Ot′

Do Ot′ là phân giác của ˆxOy′ nên MM cách đều Ox,Oy′ (Theo định lí 1)

⇒ M cách đều xx′,yy′ 

⇒ M thuộc Ot hoặc Ot′ thì M cách đều hai đường thẳng xx′ và yy′.

c) Nếu M cách đều hai đường thẳng xx′,yy′ và M luôn nằm trong một góc trong bốn góc ˆxOy, ˆxOy′, ˆx′Oy′,  ˆx′Oy thì M phải thuộc phân giác của góc ấy tức M phải thuộc đường thẳng Ot hoặc đường thẳng Ot′.

Thật vậy:

M cách đều hai đường thẳng xx′ và yy′ nên theo định lý 2 ta có:

+ Nếu M thuộc miền trong góc xOy⇒M thuộc tia Ot.

+ Nếu M thuộc miền trong góc xOy′⇒M thuộc tia Ot′.

+ Nếu M thuộc miền trong góc y′Ox′⇒M thuộc tia đối của tia Ot.

+ Nếu M thuộc miền trong góc x′Oy⇒M thuộc tia đối của tia Ot′.

d) Khi M≡O thì khoảng cách từ M đến xx′,yy′ bằng 0. 

e) Từ các câu trên ta có nhận xét: Tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau xx′,yy′ thuộc hai đường thẳng vuông góc nhau lần lượt là phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau đó.