a) Ta có: Điểm K đối xứng với điểm F qua AC => FC=KC;  AF=AK 

=> ΔΔACF=ΔΔACK (c.c.c) => ^AFC=^AKC (2 góc tương ứng) 

Ta thấy tứ giác ABFC nội tiếp đường tròn tâm O => ^AFC=^ABC.

H là trực tâm của tam giác ABC => CH⊥⊥AB (tại D)

=> ^HCB + ^ABC = 900 (1)

 Lại có AH⊥⊥BC => ^LHC + ^HCB = 900 (2)

Từ (1) và (2) => ^ABC=^LHC. Mà ^LHC + ^AHC = 1800

=> ^ABC + ^AHC = 1800. Do ^ABC=^AFC=^AKC (cmt) => ^AKC + ^AHC= 1800

Xét tứ giác AHCK có: ^AKC + ^AHC =1800 => Tứ giác AHCK nội tiếp đường tròn (đpcm).

b) AO cắt GI tại Q

Gọi giao điểm của AO và (O) là P = >^ACP=900 => ^CAP+^CPA=900 (*)

Thấy tứ giác ACPB nội tiếp đường tròn (O) => ^CPA=^ABC 

Mà ^ABC+^AHC=1800 => ^CPA+^AHC=1800 (3).

Ta có tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp (cmt) => ^KAI=^CHI

Lại có ΔΔACF=ΔΔACK => ^FAC=^KAC hay ^KAI=^GAI  => ^GAI=^CHI

Xét tứ giác AHGI: ^GAI=^GHI (=^CHI) (cmt) = >Tứ giác AHGI nội tiếp đường tròn

=> ^AIG+^AHG=1800 hay ^AIG + ^AHC=1800 (4)

Từ (3) và (4) => ^AIG=^CPA (**)

Từ (*) và (**) => ^CAP+^AIG=900 hay ^IAQ+^AIQ=900 => ΔΔAIQ vuông tại Q

Vậy AO vuông góc với GI (đpcm).