1.

a. Ta có ˆAMN=ˆAHNAMN^=AHN^(2 góc nội tiếp cùng chắn cung AN)=900−ˆNHC=ˆBCA⇒ˆAMN=ˆBCA900−NHC^=BCA^⇒AMN^=BCA^

Xét △AMN và △ACB có

ˆAA^ chung

ˆAMN=ˆBCAAMN^=BCA^(cmt)

Suy ra △AMN ∼∼ △ACB(g-g)

⇒AMAC=ANAB⇒AM.AB=AN.AC⇒AMAC=ANAB⇒AM.AB=AN.AC

b) Xét tứ giác BMNC có ˆAMN=ˆBCAAMN^=BCA^⇒⇒ tứ giác BMNC nội tiếp

2.

a) Ta có △ABC vuông tại C có AO là đường trung tuyến⇒OA=OB=OC=BC2⇒OA=OB=OC=BC2⇒⇒△OAC cân tại O hay ˆOAC=ˆOCA⇒ˆOAC+ˆMNA=ˆOCA+ˆMNA=ˆOCA+ˆMHA=ˆOCA+ˆNHC=900⇒ˆOAC+ˆMNA=900⇒ˆADN=900⇒ˆIDA=900OAC^=OCA^⇒OAC^+MNA^=OCA^+MNA^=OCA^+MHA^=OCA^+NHC^=900⇒OAC^+MNA^=900⇒ADN^=900⇒IDA^=900

Xét △ADI và △AHO có

ˆIDA=ˆAHO=900IDA^=AHO^=900

ˆAA^ chung

Suy ra △ADI ∼∼ △AHO(g-g)

b) Xét tứ giác AMHN có ˆMAN=ˆHNA=ˆAMH=900⇒MAN^=HNA^=AMH^=900⇒ tứ giác AMHN là hình chữ nhật⇒AI=AH2⇒AI=AH2

Ta có △ADI ∼∼ △AHO⇒AHAD=AOAI=BC2AH2=BCAH⇒1AD=BCAH2=HC+BHBH.HC=1HB+1HC⇒AHAD=AOAI=BC2AH2=BCAH⇒1AD=BCAH2=HC+BHBH.HC=1HB+1HC

Vậy 1AD=1HB+1HC1AD=1HB+1HC

3. Ta có tứ giác BMNC nội tiếp⇒ˆPBM=ˆMNC⇒ˆPBM+ˆMNA=ˆMNC+ˆMNA=1800⇒PBM^=MNC^⇒PBM^+MNA^=MNC^+MNA^=1800(1)

Ta có tứ giác AKMN nội tiếp⇒ˆPKM=ˆMAN(2)⇒PKM^=MAN^(2)

Từ (1),(2)⇒ˆPBM+ˆPKM=1800⇒⇒PBM^+PKM^=1800⇒ tứ giác PBMK nội tiếp⇒ˆPKB=ˆPMB=ˆAMN=ˆBCA⇒⇒PKB^=PMB^=AMN^=BCA^⇒ tứ giác BKAC nội tiếp⇒ˆBKC=ˆBAC=900