Lấy điểm M∈AD,  trong (ABCD) qua M kẻ MN // AB (N∈BC). Trong (SAD) qua M kẻ MQ // SA, trong (SBC) qua N kẻ NP // SB.

⇒(MNPQ)//(SAB)

Ta có:  (MNPQ)∩(ABCD)=MN

           (MNPQ)∩(SCD)=PQ

          (ABCD)∩(SCD)=CD

⇒MN//PQ//CD

⇒ MNPQ là hình thang.

Lại có:

 gócQMN=góc (MN;MQ)=góc (AB;AS)= góc SAB

góc PNM=góc(NM;NP)=góc(BA;BS)=gócSBA
=> góc QMN=gócPNM

Do đó MNPQ là hình thang cân.

Giả sử MNPQ ngoại tiếp được đường tròn tâm I, gọi E và F lần lượt là trung điểm của PQ và MN.

Do MNPQ là hình thang cân nên I∈ EF

Kẻ IH⊥MQ ; IK⊥NP

 Ta có: IE=IF=IH=IK, xét tam giác vuông IPE và IPK có IC chung, IE = IK ⇒ΔIPE=ΔIPK(ch−cgv)⇒EP=KP

Chứng minh tương tự ta có: QE=QH, NK=NF ,MH=QE

⇒MN+PQ=MQ+NP=2MQ (*)

Đặt AM = x (0 < x < a). Theo định lí Ta-let ta có: 

DM/DA=MQ/SA⇒MQ=DM.SA/DA=(a−x).2a/a=2(a−x)

 Ta có : PQ/CD=SQ/SD=AM/AD⇒PQ/a=x/a⇒PQ=x

 Kẻ DR // BC, gọi G=DR∩MNG=DR∩MN, dễ thấy RB = GN = CD = a.

MG/AR=DM/DA⇒MG=AR.DM/DA=2a.(a−x)/a=2(a−x)

⇒MN=MG+GN=3a−2x

Thay vào (*) ta có : 3a−2x+x=4(a−x)⇔3a−x=4a−4x⇔3x=a⇔x=a/3

⇒MN=7a/3,MQ=4a/3;PQ=a/3

⇒ EF=(a√7)/6.