Tứ giác BFHDBFHD có:

ˆBFH+ˆBDH=90∘+90∘=180∘BFH^+BDH^=90∘+90∘=180∘

→BFHD→BFHD là tứ giác nội tiếp  ( tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng 180∘180∘ )

Tứ giác BFECBFEC có:

ˆBFC=ˆBEC=90∘BFC^=BEC^=90∘

→BFEC→BFEC là tứ giác nội tiếp  ( tứ giác có hai góc cùng nhìn một cạnh )

b)

Vì BFHDBFHD là tứ giác nội tiếp

Nên ˆHFD=ˆHBDHFD^=HBD^ ( cùng chắn cung HDHD )

Vì ΔBFECΔBFEC là tứ giác nội tiếp

Nên ˆHFE=ˆHBDHFE^=HBD^ ( cùng chắn cung ECEC )

→ˆHFD=ˆHFE→HFD^=HFE^

→FH→FH là tia phân giác ˆEFDEFD^

Hoàn toàn chứng minh tương tự, ta có:

EHEH là tia phân giác ˆDEFDEF^

DHDH là tia phân giác ˆFDEFDE^

ΔDEFΔDEF có 3 đường phân giác cắt nhau tại HH

Nên HH là tâm đường tròn nội tiếp ΔDEFΔDEF

c)

MM là trung điểm BCBC

→OM⊥BC→OM⊥BC ( quan hệ đường kính – dây cung )

Mà AD⊥BCAD⊥BC

Nên OM||ADOM||AD

ΔBECΔBEC vuông tại EE

Có EMEM là đường trung tuyến

→ME=MB→ME=MB

→ΔMEB→ΔMEB cân tại MM

→ˆMEB=ˆMBE→MEB^=MBE^

Mà ˆMBE=ˆCADMBE^=CAD^ ( cùng phụ ˆBCABCA^ )

Nên ˆMEB=ˆCAD(1)MEB^=CAD^(1)

Mặt khác:

Do BFECBFEC là tứ giác nội tiếp

→ˆFEB=ˆFCB→FEB^=FCB^ ( cùng chắn cung FBFB )

Mà ˆFCB=ˆBADFCB^=BAD^ ( cùng phụ ˆABCABC^ )

Nên ˆFEB=ˆBAD(2)FEB^=BAD^(2)

Lấy (1)+(2)(1)+(2), ta được:

ˆMEB+ˆFEB=ˆCAD+ˆBADMEB^+FEB^=CAD^+BAD^

→ˆFEM=ˆBAC→FEM^=BAC^

Tứ giác AFHEAFHE có:

ˆAFH+ˆAEH=90∘+90∘=180∘AFH^+AEH^=90∘+90∘=180∘

→AFHE→AFHE là tứ giác nội tiếp

→ˆBAC=ˆBHF→BAC^=BHF^

Mà ˆBHF=ˆBDFBHF^=BDF^ ( vì BFHDBFHD nội tiếp )

Nên ˆBAC=ˆBDFBAC^=BDF^

Mà ˆFEM=ˆBACFEM^=BAC^ ( mới chứng minh ở trên )

→ˆBDF=ˆFEM→BDF^=FEM^

Vậy DMEFDMEF là tứ giác nội tiếp ( góc ngoài bằng góc đối trong )