a, Xét (O) có:

+ AB là tiếp tuyến, B là tiếp điểm ⇒ OB ⊥ AD ⇒ ˆOBA=ˆOBD=90°���^=���^=90° 

+ AC là tiếp tuyến, C là tiếp điểm ⇒ OC ⊥ AC ⇒ ˆOCA=ˆOCE=90°���^=���^=90°

Xét tứ giác ABOC có: ˆOBA+ˆOCA=90°+90°=180°���^+���^=90°+90°=180° 

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính AO

b, Xét (O) có:

AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau

B, C là hai tiếp điểm

⇒ AB = AC, AO là phân giác ˆBAC���^ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét ΔABC có: AB = AC (cmt)

⇒ ΔABC cân tại A

Mà AO là phân giác ˆBAC���^ (cmt)

⇒ AO là trung trực của BC

⇒ AO ⊥ BC, M là trung điểm của BC

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔABO vuông tại B (ˆOBA=90°���^=90°), BM ⊥ AO (AO ⊥ BC) có: BM² = OM.AM

Có BC = 2BM (M là trung điểm của BC)

⇒ BC² = 4.BM² = 4.OM.AM

c, OI ⊥ DE (gt) ⇒ ˆOID=ˆOIE=90°���^=���^=90°

Xét tứ giác OIBD có: ˆOBD=ˆOID=90°���^=���^=90° 

Tứ giác có hai đỉnh B và I cùng nhìn OD dưới một góc vuông

⇒ Tứ giác OIBD nội tiếp đường tròn đường kính OD

⇒ ˆIBO=ˆIDO���^=���^ (hai góc nội tiếp chắn OI��⏜)

Hay ˆOBC=ˆODE���^=���^

Xét tứ giác OIEC có: ˆOIE+ˆOCE=90°+90°=180°���^+���^=90°+90°=180° 

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác OIEC nội tiếp đường tròn đường kính OD

⇒ ˆIEO=ˆICO���^=���^ (hai góc nội tiếp chắn OI��⏜)

Hay ˆOED=ˆOCB���^=���^

Xét ΔOBC có: OB = OC = R

⇒ ΔOBC cân tại O

⇒ ˆOBC=ˆOCB���^=���^

Mà ˆOBC=ˆODE���^=���^ (cmt), ˆOED=ˆOCB���^=���^ (cmt)

⇒ ˆOED=ˆODE���^=���^

Xét ΔOED có: ˆOED=ˆODE���^=���^ (cmt)

⇒ ΔOED cân tại O

Mà OI là đường cao (OI ⊥ DE)

⇒ OI là trung tuyến ⇒ I là trung điểm của DE

Xét tứ giác BDME có: 

BM cắt DE tại I

I là trung điểm của BM (gt)

I là trung điểm của ED (cmt)

⇒ Tứ giác BDME là hình bình hành

⇒ ME // BD ⇒ ME // AB

Xét ΔABC có:

M là trung điểm của BC (cmt)

ME // AB (cmt)

⇒ ME là đường trung bình của ΔABC

⇒ E là trung điểm của AC

Xét ΔABC có:

AM là trung tuyến (M là trung điểm của BC)

BE là trung tuyến (E là trung điểm của AC)

AM cắt BC tại G

⇒ G là trọng tâm của ΔABC

⇒ BG = 2GE