a) Chứng minh rằng: ∆ABC ∽ ∆HBA. Từ đó suy ra AB2​ = BH.BC.

Xét ∆ABC và ∆HBA có: 

A^BCAB^C: chung

B^AC=B^HA=90BA^C=BH^A=90(vì ABC vuông tại A, AH ⊥⊥ BC)

=> ∆ABC ∽ ∆HBA (g.g)

 ⇒ABBH=BCAB⇒ABBH=BCAB (= tỉ số đồng dạng)

=> AB2 = BH.BC

b) Chứng minh rằng: ∆HAB ∽ ∆HCA và AH2 = BH.HC. 

Xét ∆HAB và ∆HCA có: 

A^HB=C^HA=90AH^B=CH^A=90  (vì AH ⊥⊥ BC)

     A^BH=C^AHAB^H=CA^H   (cùng phụ góc ACB)

=> ∆HAB ∽ ∆HCA (g.g)

    ⇒AHHC=BHAH⇒AHHC=BHAH  (= tỉ số đồng dạng)

=> AH2 = BH.HC

c) Trên tia HA lấy các điểm D, E sao cho D là trung điểm của AH, A là trung điểm của HE. Chứng minh rằng D là trực tâm của tam giác BCE.

Ta có: AH2 = BH.HC (câu b)

=> AH.AH = BH.HC

⇒2DH.1/2EH=HB.HC⇒2DH.12EH=HB.HC (vì D trung điểm AD, A trung điểm EH) 

=> DE.EH = HB.HC

a,Xét ΔBACvàΔAHCó:ΔBACvàΔAHCó:

ˆBAC=ˆAHC=900BAC^=AHC^=900

ˆBCA=ˆACHBCA^=ACH^(là góc chung)

Vậy ΔBAC∼ΔAHC(g−g)
 

b, Xét ΔABHvàΔCBAcó:ΔABHvàΔCBAcó:

ˆAHB=ˆCAB=900AHB^=CAB^=900

ˆABH=ˆCBAABH^=CBA^(là góc chung)

Vậy ΔABH∼ΔCBA(g−g)ΔABH∼ΔCBA(g−g)

⇒ABBC=BHAB⇒ABBC=BHAB

⇒AB.AB=BC.BH⇒AB.AB=BC.BH

⇒AB2=BC.BH(đpcm)
 

c,Xét ΔAHCvàΔBHAcó:ΔAHCvàΔBHAcó:

ˆAHC=ˆBHA=900AHC^=BHA^=900

ˆHAC=ˆABH(cùngphụvớiˆBCA)HAC^=ABH^(cùngphụvớiBCA^)

Vậy ΔAHC∼ΔBHA(g−g)ΔAHC∼ΔBHA(g−g)

⇒AHBH=HCAH⇒AHBH=HCAH

⇒AH2=BH.HC(đpcm)