BIMK, CIMH nội tiếp trong đường tròn vì có các góc K = I = 90 độ và góc H = góc I = 90 độ

Tứ giác KMIB nội tiếp --> góc MKI = góc MBI và góc MBI = góc MCH (góc tiếp tuyến và dây) góc MCH = góc MIH (tứ giác MHCI nội tiếp) --> MKI = góc MIH (1).


Mx tia đố i--> KMx = góc KBC(cùng bù góc KMI) và góc HMx = góc HCB(cùng bù góc IMH) mà góc KBC = góc HCB --> góc KMx = góc HMx --> Mx phân giác góc KMH

Trong tg BMC có góc BMC + góc MBI + góc MCI = 180 độ mà góc MBI = góc MIQ (chứng minh trên) và góc MCI = góc MIP --> gócBMC + góc MIQ + góc MIP = 180 độ --> góc BMC + góc PIQ = 180 độ -->Tứ giác MPIQ nội tiếp
Tứ giác PMQI nội tiếp --> góc MQP = góc MIP, góc MIP = góc MCB (Chứng minh trên) --> góc MQP = góc MCB (đồng vị) --> PQ // BC

. MN cắt PQ tại E. góc MKP = góc MBI 9MKIB nội tiếp) góc MMI = góc MPQ (đồng vị, PQ // BC) --> MKP = góc MPQ --> PQ là tiếp tuyến của đường tròn ( O1)
Tương tự góc MHQ = góc MQP (cùng bằng góc MCB) --> PQ tiếp tuyến của (O2). Vậy PQ là tiếp tuyến chung . (Ó1) --> EP^2 = EM.EN (do tg PEM và tg NEP đồng dạng, góc E chung, góc PNE = góc MPE) . Tương tự tg EMQ và tg EQN --> EQ^2 = EM.EN --> EQ = EP --> E trung điểm PQ, và PQ // BC E trung điểm PQ --> ME qua trung điểm D của BC --> M, N, D thẳng hàn