Xét bài toán (II): Cho tam giác A'B'C' điểm D' thuộc cạnh BC sao cho A′B′A′C′=D′B′D′C′A′B′A′C′=D′B′D′C′.

Chứng minh: A'D' là phân giác góc A' của tam giác A'B'C'

A'C'D'B'E'

Trên tia đối tia D'A' lấy điểm E' sao cho B'E'=B'A' 

=> ΔB′E′A′ΔB′E′A′cân tại B'

=> ˆB′A′D′=ˆB′E′D′B′A′D′^=B′E′D′^(1)

Xét tam giác: A'D'C' và tam giác E'D'B' có: E′B′A′C′=D′B′D′C′E′B′A′C′=D′B′D′C′và ˆC′D′A′=ˆB′D′E′C′D′A′^=B′D′E′^

=> Hai tam giác trên đồng dạng

=> ˆC′A′D′=ˆB′E′D′C′A′D′^=B′E′D′^(2)

Từ (1), (2) => ˆC′A′D′=ˆB′A′D′C′A′D′^=B′A′D′^=> A'D' là phân giác góc A của tam giác A'B'C'

Quay lại bài toán của bạn:

ABCDEFMNH

Xét tam giác EFD có: M thuộc FD và EDEF=MDMFEDEF=MDMF

theo bài toán (II)  đã chứng minh ở trên ta có: EM là phân giác góc ˆFEDFED^

tương tự FN là phân giác góc ˆDFEDFE^

mà EM cắt FN tại H

=> H là giao ba đường phân giác trong tam giác DEF

=> DA là phân giác trong góc FDE

Như vậy cần chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC