a) Xét ΔABK vuông tại A và ΔIBK vuông tại I có 

BK chung

ˆABK=ˆIBK

b) Ta có: KI⊥⊥BC(gt)

AH⊥⊥BC(gt)

Do đó: KI//AH(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

Suy ra: ˆHAI=ˆKIAHAI^=KIA^(hai góc so le trong)(1)

Ta có: ΔABK=ΔIBK(cmt)

nên KA=KI(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔKAI có KA=KI(cmt)

nên ΔKAI cân tại K(Định nghĩa tam giác cân)

Suy ra: ˆKAI=ˆKIAKAI^=KIA^(hai góc ở đáy)(2)

Từ (1) và (2) suy ra ˆHAI=ˆKAIHAI^=KAI^

⇔ˆHAI=ˆCAI⇔HAI^=CAI^

Suy ra: AI là tia phân giác của ˆHACHAC^(Đpcm)

Thu gọn(BK là tia phân giác của ˆABIABI^)

Do đó: ΔABK=ΔIBK(Cạnh huyền-góc nhọn)

c, Ta có ∆ABK = ∆IBK (cmt)

=> AKB= IKB (2 góc t/ứ) (3)

Từ AH // KI (cmt)

Suy ra AFK = BKI (slt) (4)

Từ (3) và (4) => AFK = AKB

=>∆AKF cân tại A

CMTT ta có : IFK = IKF

=>∆IKF cân tại I

=> IK = IF (t/c tam giác cân)

Xét ∆IKC vuông tại I có

KC > IK (ch > cgv)

=> KC > IF (5)

Xét ∆ABF và ∆IBF có

BF : chung

ABK = CBK (gt)

BA = IB (cmt)

=>∆ABF = ∆IBF (c.g.c)

=> AF = IF (2 cạnh t/ứ) (6)

Từ (5) và (6) => KC > AF

d, Xét ∆AIM và ∆AIC có

AI : chung

HAI = CAI (cmt)

AM = AC (gt)

=>∆AIM = ∆AIC (c.g.c)

=> AMI = ACI (2 góc t/ứ)

Và IM = IC (2 cạnh t/ứ)

Ta có AM = AC (gt)

=> AF + FM = AK + KC

Mà AK = AF (∆AFK cân tại A -- cmt)

=> FM = KC

Xét ∆FIM và ∆KIC có

FM = KC (cmt)

AMI = ACI (cmt)

MI = IC (cmt)

=>∆FIM = ∆KIC (c.g.c)

=> FIM = KIC = 90° (2 cạnh t/ứ)

Lại có IF cắt IM tại I

=> IF ⊥ IM tại I