a) - Nếu a hoặc b chia hết cho 3 => abc chia hết cho 3. 
- Nếu a không chia hết cho 3 và b không chia hết cho 3 => a² chia 3 dư 1, b² chia 3 dư 1 => c² chia 3 dư 2 (vô lí) 
Vậy trường hợp a không chia hết cho 3 và b không chia hết cho 3 không xảy ra => abc chia hết cho 3 (*) 
b) - Nếu a, b cùng chẵn => ab chia hết cho 4 => abc chia hết cho 4. 
- Nếu a, b cùng lẻ => a = 2t + 1; b = 2k + 1 (t; k thuộc N) 
=> a² + b² = (2t +1)² + (2k + 1)² = 4t² + 4t + 4k² + 4k + 2 = 4(t² + t + k² + k) + 2 => a² + b² chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 => c² chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 (vô lí) 
Vậy trường hợp a, b cùng lẻ không xảy ra. 
- Nếu a lẻ, b chẵn => c lẻ. Đặt a = 2m + 1; b = 2n; c= 2p + 1. (m, n, p thuộc N). 
=> a² + b² = c² 
<=> (2m + 1)² + (2n)² = (2p + 1)² 
<=> 4m² + 4m + 1 + 4n² = 4p² + 4p + 1 
<=> n² = p² + p - m² - m 
<=> n² = p(p + 1) - m(m + 1). 
p(p + 1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp => p(p + 1) chia hết cho 2. Cmtt => m(m + 1) chia hết cho 2 => p(p + 1) - m(m + 1) chia hết cho 2 => n² chia hết cho 2 => n chia hết cho 2 => b chia hết cho 4 => abc chia hết cho 4. 
- Nếu a chẵn, b lẻ. Cmtt => a chia hết cho 4 => abc chia hết cho 4. 
Vậy abc chia hết cho 4 (**) 
c) - Nếu a hoặc b chia hết cho 5 => abc chia hết cho 5. 
- Nếu a không chia hết cho 5 và b không chia hết cho 5 => a² chia 5 dư 1 hoặc 4; b² chia 5 dư 1 hoặc 4. 
+ Nếu a² chi 5 dư 1, và b² chia 5 dư 1 => c² chia 5 dư 2 (vô lí) 
+ Nếu a² chi 5 dư 1, và b² chia 5 dư 4=> c² chia 5 dư 0 => c chia hết cho 5. 
+ Nếu a² chi 5 dư 4 và b² chia 5 dư 1 => c² chia 5 dư 0 => c chia hết cho 5. 
+ Nếu a² chi 5 dư 4 và b² chia 5 dư 4 => c² chia 5 dư 3 (vô lí). 
Vậy ta luôn tìm được một giá trị của a, b, c thỏa mãn abc chia hết cho 5. (***) 
Từ (*), (**), (***), mà 3, 4, 5 đôi một nguyên tố cùng nhau => abc chia hết cho 3.4.5 hay abc chia hết cho 60. (đpcm). 

a) - Nếu c hoặc b chia hết cho 3 => abc chia hết cho 3. 
- Nếu c không chia hết cho 3 và b không chia hết cho 3 => c² chia 3 dư 1, b² chia 3 dư 1 => a² chia 3 dư 2 (vô lí) 
Vậy trường hợp c không chia hết cho 3 và b không chia hết cho 3 không xảy ra => abc chia hết cho 3 (*) 
b) - Nếu c, b cùng chẵn => cb chia hết cho 4 => abc chia hết cho 4. 
- Nếu c, b cùng lẻ => c = 2t + 1; b = 2k + 1 (t; k thuộc N) 
=> c² + b² = (2t +1)² + (2k + 1)² = 4t² + 4t + 4k² + 4k + 2 = 4(t² + t + k² + k) + 2 => c² + b² chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 => a² chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 (vô lí) 
Vậy trường hợp c, b cùng lẻ không xảy ra. 
- Nếu c lẻ, b chẵn => a lẻ. Đặt a = 2m + 1; b = 2n; c= 2p + 1. (m, n, p thuộc N). 
=> c² + b² = a² 
<=> (2m + 1)² + (2n)² = (2p + 1)² 
<=> 4m² + 4m + 1 + 4n² = 4p² + 4p + 1 
<=> n² = p² + p - m² - m 
<=> n² = p(p + 1) - m(m + 1). 
p(p + 1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp => p(p + 1) chia hết cho 2. Cmtt => m(m + 1) chia hết cho 2 => p(p + 1) - m(m + 1) chia hết cho 2 => n² chia hết cho 2 => n chia hết cho 2 => b chia hết cho 4 => abc chia hết cho 4. 
- Nếu c chẵn, b lẻ. Cmtt => c chia hết cho 4 => abc chia hết cho 4. 
Vậy abc chia hết cho 4 (**) 
c) - Nếu c hoặc b chia hết cho 5 => abc chia hết cho 5. 
- Nếu c không chia hết cho 5 và b không chia hết cho 5 => c² chia 5 dư 1 hoặc 4; b² chia 5 dư 1 hoặc 4. 
+ Nếu c² chi 5 dư 1, và b² chia 5 dư 1 => a² chia 5 dư 2 (vô lí) 
+ Nếu c² chi 5 dư 1, và b² chia 5 dư 4=> a² chia 5 dư 0 => a chia hết cho 5. 
+ Nếu c² chi 5 dư 4 và b² chia 5 dư 1 => a² chia 5 dư 0 => a chia hết cho 5. 
+ Nếu c² chi 5 dư 4 và b² chia 5 dư 4 => a² chia 5 dư 3 (vô lí). 
Vậy ta luôn tìm được một giá trị của a, b, c thỏa mãn abc chia hết cho 5. (***) 
Từ (*), (**), (***), mà 3, 4, 5 đôi một nguyên tố cùng nhau => abc chia hết cho 3.4.5 hay abc chia hết cho 60. (đpcm).