a, 

AD ⊥ BC (gt) ⇒ ˆADB=ˆADC=90°ADB^=ADC^=90° Hay ˆHDB=ˆHDC=90°HDB^=HDC^=90°

BE ⊥ AC (gt) ⇒ ˆBEA=ˆBEC=90°BEA^=BEC^=90° Hay ˆHEA=ˆHEC=90°HEA^=HEC^=90°

CF ⊥ AB (gt) ⇒ ˆBFC=ˆBFA=90°BFC^=BFA^=90° Hay ˆHFA=ˆHFC=90°HFA^=HFC^=90°

Xét tứ giác BFEC có: ˆBFC=ˆBEC=90°BFC^=BEC^=90°

Tứ giác có hai đỉnh F và E cùng nhìn BC dưới một góc vuông

⇒ Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC. Tâm I của đường tròn là trung điểm của BC

b, Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC (cmt)

⇒ ˆBFE+ˆBCE=180°BFE^+BCE^=180° (tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)

Mà ˆBFE+ˆBFM=180°BFE^+BFM^=180° (hai góc kề bù)

⇒ ˆBFM=ˆBCEBFM^=BCE^ Hay ˆMFB=ˆMCEMFB^=MCE^

Xét ΔMBF và ΔMEC có:

ˆMFB=ˆMCEMFB^=MCE^ (cmt)

ˆEMCEMC^: góc chung

⇒ ΔMBF ~ ΔMEC (g.g)

⇒ MBME=MFMCMBME=MFMC (các cặp cạnh tương ứng)

⇒ MB.MC = ME.MF

Xét (O) có: B, K, T, C ∈ (O)

⇒ Tứ giác BKTC nội tiếp (O)

⇒ ˆBKT+ˆBCT=180°BKT^+BCT^=180° (tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)

Mà ˆBKT+ˆBKM=180°BKT^+BKM^=180° (hai góc kề bù)

⇒ ˆBKM=ˆBCTBKM^=BCT^ Hay ˆMKB=ˆMCTMKB^=MCT^

Xét ΔMBK và ΔMTC có:

ˆMKB=ˆMCTMKB^=MCT^ (cmt)

ˆTMCTMC^: góc chung

⇒ ΔMBK ~ ΔMTC (g.g)

⇒ MBMT=MKMCMBMT=MKMC (các cặp cạnh tương ứng)

⇒ MB.MC = MK.MT

Mà MB.MC = ME.MF (cmt)

⇒ ME.MF = MK.MT

Xét ΔBEC vuông tại E (ˆBEC=90°BEC^=90°) có:

EI là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC (I là trung điểm của BC)

⇒ IE = IB = IC = 1212 BC

Xét ΔIEC có: IE = IC (cmt) ⇒ ΔIEC cân tại I

⇒ ˆIEC=ˆICEIEC^=ICE^

Xét ΔICE có: ˆEID=ˆIEC+ˆICEEID^=IEC^+ICE^ (góc ngoài tại đỉnh I của ΔICE)

(*Nếu bạn chưa biết: Trong tam giác, góc ngoài tại một đỉnh bằng tổng hai góc trong không kề với nó)

⇒ ˆEID=ˆICE+ˆICE=2ˆICE=2ˆBCEEID^=ICE^+ICE^=2ICE^=2BCE^

Xét tứ giác FHDB có: ˆHFB+ˆHDB=90°+90°=180°HFB^+HDB^=90°+90°=180°

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác HFBD nội tiếp đường tròn đường kính BH

⇒ ˆHFD=ˆHBDHFD^=HBD^ (hai góc nội tiếp chắn HDHD⏜)

Hay ˆCFD=ˆEBCCFD^=EBC^

Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC (cmt)

⇒ ˆEBC=ˆEFCEBC^=EFC^ (tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)

Mà ˆCFD=ˆEBCCFD^=EBC^ (cmt)

⇒ ˆCFD=ˆEFCCFD^=EFC^ ⇒ FC là phân giác ˆEFDEFD^

⇒ ˆEFD=2ˆHFDEFD^=2HFD^

Mà ˆHFD=ˆHBDHFD^=HBD^ (cmt)

⇒ ˆEFD=2ˆHBD=2ˆEBCEFD^=2HBD^=2EBC^

Xét ΔEBC vuông tại E (ˆBEC=90°BEC^=90°) có:

ˆEBC+ˆECB=90°EBC^+ECB^=90° (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

ˆEID+ˆEFD=2ˆBCE+2ˆEBC=2.(ˆBCE+ˆEBC)=2.90°=180°EID^+EFD^=2BCE^+2EBC^=2.(BCE^+EBC^)=2.90°=180°

Xét tứ giác FEDI có: ˆEID+ˆEFD=180°EID^+EFD^=180° (cmt)

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác FEDI nội tiếp

⇒ ˆFEI+ˆFDI=180°FEI^+FDI^=180° (tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)

Mà ˆFDI+ˆFDM=180°FDI^+FDM^=180° (hai góc kề bù)

⇒ ˆFDM=ˆFEIFDM^=FEI^ Hay ˆMDF=ˆMEIMDF^=MEI^

Xét ΔMDF và ΔMEI có:

ˆMDF=ˆMEIMDF^=MEI^ (cmt)

ˆEMIEMI^: góc chung

⇒ ΔMDF ~ ΔMEI (g.g)

⇒ MDME=MFMIMDME=MFMI (các cặp cạnh tương ứng)

⇒ ME.MF = MD.MI

Mà ME.MF = MK.MT (cmt)

⇒ MD.MI = MK.MT