Gọi H là trung điểm đoạn AB. Ta có vì H là trung điểm dây cung AB nên:

—► OH ⊥ MH  (tính chất dây cung)

  Vì MC và MD là 2 tiếp tuyến kẽ từ M

—► OC ⊥ MC  (tính chất tiếp tuyến)

và  OD ⊥ MD  (tính chất tiếp tuyến)

—► 3 điểm H, C, D cùng nhìn đoạn thẳng AO dưới 1 góc 90° nên H, C, D cùng nằm trên đường tròn đường kính MO hay nói cách khác 5 điểm M, C, H, O, D cùng thuộc một đường tròn

   Do 5 điểm M, C, H, O, D cùng thuộc một đường tròn

—► ∠MCD = ∠MHD (cùng chắn MD)

   Do AK // MC theo giả thiết

—► ∠MCD = ∠AKD (góc đồng vị)

—►   ∠AHD = ∠MHD = ∠AKD

—► 2 điểm H, K kề nhau cùng nhìn đoạn AD dưới một góc bằng nhau

—► tứ giác ADHK nội tiếp được 

—► ∠ADK = ∠AHK (cùng chắn AK)

hay  ∠ADC = ∠AHK                 (1)

  Gọi giao điểm của AK và BC là I

  Xét (O) có:

∠ADC = ∠ABC (cùng chắn AC)     (2)

Từ (1) và (2) —►  ∠AHK = ∠ABC

   Hai góc này ở vị trí đồng vị do AB cắt HK và BC —► HK // BC —► HK // BI

  Mặt khác vì H là trung điểm AB nên HK là đường trung bình Δ ABI

—► K là trung điểm của AI

hay là: AI/AK = 2             (3)

  Xét Δ BMC có: AI // MC     (gt)

—► AI/MC=BA/BM (hệ quả đ/lý Talet)

  Xét Δ BMN có: AK // MN   (do AI // MC)

—►AK/MN=BA/BM (hệ quả đ/lý Talet)

—► AI/MC=AK/MN (tính chất bắt cầu)

—► AI/AK=MC/MN               (4)

  Từ (3) và (4) —►  MC/MN = 2

  Hay N là trung điểm của MC

1. Ta có OH⊥HS (tính chất trung điểm dây cung)
=> H nằm trên đường tròn đường kính SO
Ta có C, D là tiếp điểm nên OC⊥SC, OD⊥SD
=> C, D nằm trên đường tròn đường kính SO.
2. Ta có OD = R; SO = 2R
Do đó SD=SO2−OD2−−−−−−−−−√=4R2−R2−−−−−−−−√=R3–√
Và ta có OSD=300 (Cạnh đối diện bằng nửa cạnh huyền)
Tương tự, ta có SC = SD = R3–√, OSC=300
Do đó, tam giác SCD cân và có CSD=600
=> Tam giác SCD đều.
3. Hình vẽ:
AK//SC nên AKD =SCD = ½ cung SD của đường tròn đường kính SO
Ta có SHD = 1/2 cung SD của đường tròn đường kính SO.
=>AKD =AHD=> Tứ giác ADHK nội tiếp.
Chứng minh BK đi qua trung điểm của SC
Gọi I là giao điểm của tia AK và đoạn thẳng BC, P là giao điểm tia BK và SC. Ta chứng minh K là trung điểm của AI, AI//SC từ đó suy ra BK đi qua trung điểm P của CS. (Dùng hệ quả định lí Ta-let).
4.
Gọi M là trung điểm OH, R là trung điểm OA, dễ chứng minh M cố ddonhj, MR là đường trung bình tam giác OAH, từ đó suy ra MR//HA, mà HA vuông góc OH => MR vuông góc OH=> ∠OMR vuông.
Có ∠MOR= ½ ∠AOB= ∠ADB= ∠EDF
=> ΔDFE đồng dạng ΔOMR=> DFOM=DEOR=DBOA
=> ΔDFB đồng dạng ΔOMA(c.g.c)⇒∠DFB=∠OMA (góc tương ứng)
=> mà ∠DFB kề bù ∠AFB; ∠OMA kề bù ∠AMH
⇒∠AFB=∠AMH⇒∠AFB=12∠AMB
Xét đường tròn (M;MA) có:
∠AMB là góc ở tâm chắn cung AB
∠AFB=12∠AMB (cmt)
=>∠AFB là góc nối tiếp chắn cung AB của đường tròn (M;MA)
Mà M, A cố định.
=> F luôn thuộc đường tròn (M;MA) cố định khi S di chuyển trên tia đối của tia AB.