Ta có: \(M = \dfrac{x} + \dfrac{4}{x} = \dfrac{x} + \dfrac{x} \)\(\,= \dfrac{x} + \dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} + 4\)

Vì \(0 < x < 1 \Rightarrow 1 - x > 0 \Rightarrow \)\(\dfrac{x} > 0\) và \(\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} > 0\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(\dfrac{x}\)và \(\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{x} + \dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{x}.\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x}}  = 4\\ \Leftrightarrow \dfrac{x} + \dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} + 4 \ge 8 \Leftrightarrow M \ge 8\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{x} = \dfrac{{4\left( {x - 1} \right)}}{x}\)

\(\Leftrightarrow {x^2} = 4{\left( {x - 1} \right)^2} \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2x - 2\\x =  - 2x + 2\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\;\;\left( {ktm} \right)\\x = \dfrac{2}{3}\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 8 đặt được khi \(x = \dfrac{2}{3}.\)