a) Xét ΔAEFΔAEF có:

AHAH là phân giác của ˆA(gt)A^(gt)

AH⊥EF(gt)AH⊥EF(gt)

Do đó: ΔAEFΔAEF cân tại AA

⇒ˆAEF=ˆAFE⇒AEF^=AFE^

Từ CC kẻ đường thẳng song song với ABAB cắt EFEF tại DD

⇒ˆAEF=ˆCDF⇒AEF^=CDF^ (đồng vị)

Do đó: ˆAFE=ˆCDFAFE^=CDF^

Hay ˆCFD=ˆCDFCFD^=CDF^

Xét ΔCDFΔCDF có:

ˆCFD=ˆCDF(cmt)CFD^=CDF^(cmt)

Do đó; ΔCDFΔCDF cân tại CC

⇒CF=CD(1)⇒CF=CD(1)

Xét ΔBEMΔBEM và ΔCDMΔCDM có:

BM=MC=12BC(gt)ˆBME=ˆCMD:đối đỉnhˆMBE=ˆMCD:so le trong⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭BM=MC=12BC(gt)BME^=CMD^:đối đỉnhMBE^=MCD^:so le trong}

Do đó: ΔBEM=ΔCDM(g.c.g)ΔBEM=ΔCDM(g.c.g)

⇒BE=CD(2)⇒BE=CD(2)

Từ (1)(2)⇒BE=CF(1)(2)⇒BE=CF

b) Ta có:

ΔAEFΔAEF cân tại AA (câu a)

⇒AE=AF⇒AE=AF

mà AF=AC+CFAF=AC+CF

nên AE=AC+CFAE=AC+CF

⇔AE=AC+BE⇔AE=AC+BE

⇔AE=AC+AB−AE⇔AE=AC+AB−AE

⇔2AE=AB+AC⇔2AE=AB+AC

⇔AE=AB+AC2⇔AE=AB+AC2

Ta cũng có:

BE=AB−AEBE=AB−AE

⇔BE=AB−AB+AC2⇔BE=AB−AB+AC2

⇔BE=2AB−(AB+AC)2⇔BE=2AB−(AB+AC)2

⇔BE=AB−AC2⇔BE=AB−AC2

c) Ta có:

ˆCMF=ˆACB−ˆAFMCMF^=ACB^−AFM^ (ˆACBACB^ là góc ngoài của ΔCMFΔCMF)

⇔ˆCMF=ˆACB−ˆAEM⇔CMF^=ACB^−AEM^

⇔ˆCMF=ˆACB−(ˆABC+ˆBME)⇔CMF^=ACB^−(ABC^+BME^)

⇔ˆCMF=ˆACB−ˆABC−ˆBME⇔CMF^=ACB^−ABC^−BME^

⇔ˆBME=ˆACB−ˆABC−ˆBME⇔BME^=ACB^−ABC^−BME^

⇔2ˆBME=ˆACB−ˆABC⇔2BME^=ACB^−ABC^

⇔ˆBME=ˆACB−ˆABC2