a) Ta có BN và CP là đường trung tuyến của ΔABC
⇒N và P lần lượt là trung điểm cạnh AB và AC
⇒PN là đường trung bình ΔABC
⇒PN∥BC hay PN∥CF
Mà NF∥CP (cách dựng)
⇒CPNF là hình bình hành (có hai cặp cạnh đối diện song song)
b) Ta có: FD∥BN (cách dựng)
NF∥BD (vì cùng ∥PC)
⇒BDFN là hình bình hành (có hai cặp cạnh đối diện song song)
c) Do CPNF là hình bình hành
⇒NF∥=PC (1)
Do BDFN là hình bình hành
⇒NF∥=BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra PC∥=BD
⇒BPCD là hình bình hành
⇒M là trung điểm của BC thì M cũng là trung điểm của PD
⇒P,M,D thẳng hàng
Mà PM∥AC (do PM là đường trung bình ΔABC)
⇒PD∥NC
⇒PNCD là hình thang

d) Ta có PM=ANPM=AN (vì PMPM là đường trung bình ΔABCΔABC, PM=12AC=ANPM=12AC=AN)

mà PM=MDPM=MD

⇒AN=MD⇒AN=MD và An∥MDAn∥MD (vì PD∥NCPD∥NC)

⇒ANDM⇒ANDM là hình bình hành

⇒AM=DN⇒AM=DN (đpcm)

e) Để PNCDPNCD là hình thang cân thì PC=DNPC=DN

⇒PC=AM⇒PC=AM

⇒ΔABC⇒ΔABC cân đỉnh BB.

a) xét tam giác ABC có:

 P là trung điểm của AB (đường trung tuyến CP)

N là trung điểm của AC (đường trung tuyến BN)

=> PN là đường trung bình của tam giác ABC (đ/n đường trung bình)

=> PN // BC (t/c đường trung bình) 

=> PN //CF

xét tứ giác CPNF có:

NE //PC (gt) 

PN //CF (cmt)

=> CPNF là hình bình hành

b) vì NE //PC (gt) 

        BD //PC (gt)

=> NF // BD

xét tứ giác BDFN có: 

NF // BD (cmt)

BN // DF (gt)

=> BDFN là HBH (dấu hiệu nhận biết)

c) vì tứ giác CPNF là HBH (câu a)

=> NF //CP ; NF = CP (t/c HBH)     (1)

vì tứ giác BDFN là HBH (câu b)

=> NF // BD ; NF = BD (t/c HBH)    (2)

từ (1) và (2) => BD // PC ; BD = PC

=> tứ giác PCDB là HBH (dấu hiệu nhận biết)

Mà M là trung điểm của đường chéo BC

=> M là trung điểm của đường chéo PD

=> P,M,D thẳng hàng

xét tam giác ABC có: 

P là trung điểm của AB (đường trung tuyến CP)

M là trung điểm của BC (đường trung tuyến AM)

=> PM là đường trung bình của tam giác ABC (đ/n đường trung bình)

=> PM //AC (t/c đường trung bình)

=> PD // NC 

=> tứ giác PNCD là hình thang

d) vì AC // PM (cmt) => AN // MD

Vì PM là đường trung bình của tam giác ABC (cmt)

=> PM = 1/2 AC (t/c đường trung bình)

mà AN =1/2 AC (N là trung điểm của AC)

=> PM = AN

mà PM = MD ( M là trung điểm của PD) => AN = MD

vì PM // AC (cmt) => MD // AN 

xét tứ giác ANDM có: 

AN = MD (cmt)

AN //MD (cmt) 

=> tứ giác ANDM là HBH 

=> AM = DN (t/c HBH)