a, b, c, d $ có vai trò bình đẳng nên không mất

tính tổng quát có thể giả thiết $ 0 < a ≤ b ≤ c ≤ d$

Áp dụng BĐT GTTĐ $|A| + |B| ≥ |A + B|$

Dấu $'='$ xảy ra khi $AB > 0$ ta có:

$ | x - a| + |x - d| = | x - a| + |d - x| $

$ ≥ |(x - a) + (d - x)| = |d - a| = d - a (1)$

Dấu $'='$ xảy ra khi $(x - a)(d - x) ≥ 0 ⇔ a ≤ x ≤ d$

$ | x - b| + |x - c| = | x - b| + |c - x| $

$ ≥ |(x - b) + (c - x)| = |c - b| = c - b (2)$

Dấu $'='$ xảy ra khi $(x - b)(c - x) ≥ 0 ⇔ b ≤ x ≤ c$

$ (1) + (2) :$

$ A = | x - a| + |x - b| + | x - c| + |x - d| ≥ (c + d) - (a + b)$

$ ⇒ MinA = (c + d) - (a + b)$

Xảy ra khi $x$ thỏa mãn đồng thời $(1); (2) ⇔  b ≤ x ≤ c$