Bài 1.
a) Xét đg tròn (O), đg kính AB có:
C∈(O)
M∈(O)
⇒ΔABC vuông; ΔABMvuông
⇒AC⊥BN
   BM⊥AN
Mà AC và BN cắt nhau tại E
=> NE⊥AB
 
b) Gọi giao điểm của NE và AB là I => NI⊥AB
Xét tứ giác AENF có: AN cắt EF tại M
Mà M là trung điểm của AN( A đx với N qua M)
M là trung điểm của EF(E đx với F qua M)
=> AENF là hình bình hành( Tứ giác có 2 đ/c cắt nhau tại trung điểm của mỗi đg là hình bình hành) => AF // EN => NAFˆ=ANI (1) ( 2 góc so le trong)
 
Từ (1) và (2) => NAFˆ+NAIˆ=90o => OAFˆ=90o => OA⊥FAtại A
Xét đg tròn(O; OA) có: OA⊥FAOA⊥FA tại A(c/m trên)
=> FA là tiếp tuyến của đg tròn (O)
c) Xét ΔABN có:
BM là trung tuyến ứng vs AN( M là trung điểm của AN)
đồng thời BM là đg cao ứng vs AN
=> ΔABNcân tại B( Nếu một tam giác có đg trung tuyến ứng vs một cạnh, đồng thời là đg cao ứng vs cạnh đó thì tam giác đó là tam giác cân)
=> BA=BN và BM là phân giác của góc B
=> BN là bán kính của (B)
Xét ΔABFvàΔNBFcó:
BA=BN( c/m trên)
ABFˆ=NBFˆ(BM là phân giác của BˆB^)
BF là cạnh chung
=> ΔABF=ΔNBF(c.g.c)
=> Aˆ=N( 2 góc tương ứng). Mà Aˆ=90o
=> Nˆ=90o => BN⊥NF tại N
Xét đg tròn (B;BN) có: BN⊥NF tại N( c/m trên)
=> NF là tiếp tuyến của đg tròn (B;BA)
d) Xét ΔNBF vuông tại N(Nˆ=90oN^=90o) có:
NB2=BM.BF (3)(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mặt khác NB^2+NF^2=BF^2 (định lý đảo Pitago?
=> NB^2 = BF^2 - NF^2 (4)
Từ (3) và (4)
=> đcpcm