a) Điều kiện x>0x>0. Thực hiện chia tử cho mẫu ta được:
f(x)=x+x12+1x13f(x)=x+x12+1x13 = x1−13+x12−13+x−13x1−13+x12−13+x−13 = x23+x16+x−13x23+x16+x−13
∫f(x)dx=∫(x23+x16+x−13)dx∫f(x)dx=∫(x23+x16+x−13)dx = 35x53+67x76+32x2335x53+67x76+32x23 +C
b) Ta có f(x)=2x−1exf(x)=2x−1ex = (2e)x(2e)x−e−x−e−x
; do đó nguyên hàm của f(x)f(x) là:
F(x)=(2e)xln2e+e−x+CF(x)=(2e)xln2e+e−x+C =2xex(ln2−1)+1ex+C2xex(ln2−1)+1ex+C= 2x+ln2−1ex(ln2−1)+C2x+ln2−1ex(ln2−1)+C
c) Ta có f(x)=1sin2x.cos2x=4sin22xf(x)=1sin2x.cos2x=4sin22x
hoặc f(x)=1cos2x.sin2x=1cos2x+1sin2xf(x)=1cos2x.sin2x=1cos2x+1sin2x
Do đó nguyên hàm của f(x)f(x) là F(x)=−2cot2x+CF(x)=−2cot2x+C
d) Áp dụng công thức biến tích thành tổng:
f(x)=sin5xcos3x=12(sin8x+sin2x)f(x)=sin5xcos3x=12(sin8x+sin2x).
Vậy nguyên hàm của hàm số f(x)f(x) là
F(x)F(x) = −14−14(14cos8x+cos2x)+C14cos8x+cos2x)+C
e) Ta có tan2x=1cos2x−1tan2x=1cos2x−1
vậy nguyên hàm của hàm số f(x) là F(x)=tanx−x+CF(x)=tanx−x+C
g) Ta có ∫e3−2xdx=−12∫e3−2xd(3−2x)=−12e3−2x+C∫e3−2xdx=−12∫e3−2xd(3−2x)=−12e3−2x+C
h) Ta có :∫dx(1+x)(1−2x))=13∫(11+x+21−2x)dx∫dx(1+x)(1−2x))=13∫(11+x+21−2x)dx
= 13(ln|1+x|)−ln|1−2x|)+C13(ln|1+x|)−ln|1−2x|)+C
= 13ln∣∣1+x1−2x∣∣+C13ln|1+x1−2x|+C.
 

Giải:
a) Điều kiện x>0x>0. Thực hiện chia tử cho mẫu ta được:
f(x)=x+x12+1x13f(x)=x+x12+1x13 = x1−13+x12−13+x−13x1−13+x12−13+x−13 = x23+x16+x−13x23+x16+x−13
∫f(x)dx=∫(x23+x16+x−13)dx∫f(x)dx=∫(x23+x16+x−13)dx = 35x53+67x76+32x2335x53+67x76+32x23 +C
b) Ta có f(x)=2x−1exf(x)=2x−1ex = (2e)x(2e)x−e−x−e−x
; do đó nguyên hàm của f(x)f(x) là:
F(x)=(2e)xln2e+e−x+CF(x)=(2e)xln2e+e−x+C =2xex(ln2−1)+1ex+C2xex(ln2−1)+1ex+C= 2x+ln2−1ex(ln2−1)+C2x+ln2−1ex(ln2−1)+C
c) Ta có f(x)=1sin2x.cos2x=4sin22xf(x)=1sin2x.cos2x=4sin22x
hoặc f(x)=1cos2x.sin2x=1cos2x+1sin2xf(x)=1cos2x.sin2x=1cos2x+1sin2x
Do đó nguyên hàm của f(x)f(x) là F(x)=−2cot2x+CF(x)=−2cot2x+C
d) Áp dụng công thức biến tích thành tổng:
f(x)=sin5xcos3x=12(sin8x+sin2x)f(x)=sin5xcos3x=12(sin8x+sin2x).
Vậy nguyên hàm của hàm số f(x)f(x) là
F(x)F(x) = −14−14(14cos8x+cos2x)+C14cos8x+cos2x)+C
e) Ta có tan2x=1cos2x−1tan2x=1cos2x−1
vậy nguyên hàm của hàm số f(x) là F(x)=tanx−x+CF(x)=tanx−x+C
g) Ta có ∫e3−2xdx=−12∫e3−2xd(3−2x)=−12e3−2x+C∫e3−2xdx=−12∫e3−2xd(3−2x)=−12e3−2x+C
h) Ta có :∫dx(1+x)(1−2x))=13∫(11+x+21−2x)dx∫dx(1+x)(1−2x))=13∫(11+x+21−2x)dx
= 13(ln|1+x|)−ln|1−2x|)+C13(ln|1+x|)−ln|1−2x|)+C
= 13ln∣∣1+x1−2x∣∣+C13ln|1+x1−2x|+C.

a) e−xe−x và −e−x−e−x là nguyên hàm của nhau, vì:
(e−x)′=e−x(−1)=−e−x(e−x)′=e−x(−1)=−e−x và (−e−x)′=(−1)(−e−x)=e−x(−e−x)′=(−1)(−e−x)=e−x
b) sin2xsin2x là nguyên hàm của sin2xsin2x, vì:
(sin2x)′=2sinx.(sinx)′=2sinxcosx=sin2x(sin2x)′=2sinx.(sinx)′=2sinxcosx=sin2x
c) (1−4x)ex(1−4x)ex là một nguyên hàm của (1−2x)2ex(1−2x)2ex vì:
((1−4x)ex)′((1−4x)ex)′ = 4x2ex+(1−4x)ex4x2ex+(1−4x)ex = (1−4x+4x2)ex(1−4x+4x2)ex = (1−2x)2ex

a) Điều kiện x>0x>0. Thực hiện chia tử cho mẫu ta được:
f(x)=x+x12+1x13f(x)=x+x12+1x13 = x1−13+x12−13+x−13x1−13+x12−13+x−13 = x23+x16+x−13x23+x16+x−13
∫f(x)dx=∫(x23+x16+x−13)dx∫f(x)dx=∫(x23+x16+x−13)dx = 35x53+67x76+32x2335x53+67x76+32x23 +C
b) Ta có f(x)=2x−1exf(x)=2x−1ex = (2e)x(2e)x−e−x−e−x
; do đó nguyên hàm của f(x)f(x) là:
F(x)=(2e)xln2e+e−x+CF(x)=(2e)xln2e+e−x+C =2xex(ln2−1)+1ex+C2xex(ln2−1)+1ex+C= 2x+ln2−1ex(ln2−1)+C2x+ln2−1ex(ln2−1)+C
c) Ta có f(x)=1sin2x.cos2x=4sin22xf(x)=1sin2x.cos2x=4sin22x
hoặc f(x)=1cos2x.sin2x=1cos2x+1sin2xf(x)=1cos2x.sin2x=1cos2x+1sin2x
Do đó nguyên hàm của f(x)f(x) là F(x)=−2cot2x+CF(x)=−2cot2x+C
d) Áp dụng công thức biến tích thành tổng:
f(x)=sin5xcos3x=12(sin8x+sin2x)f(x)=sin5xcos3x=12(sin8x+sin2x).
Vậy nguyên hàm của hàm số f(x)f(x) là
F(x)F(x) = −14−14(14cos8x+cos2x)+C14cos8x+cos2x)+C
e) Ta có tan2x=1cos2x−1tan2x=1cos2x−1
vậy nguyên hàm của hàm số f(x) là F(x)=tanx−x+CF(x)=tanx−x+C
g) Ta có ∫e3−2xdx=−12∫e3−2xd(3−2x)=−12e3−2x+C∫e3−2xdx=−12∫e3−2xd(3−2x)=−12e3−2x+C
h) Ta có :∫dx(1+x)(1−2x))=13∫(11+x+21−2x)dx∫dx(1+x)(1−2x))=13∫(11+x+21−2x)dx
= 13(ln|1+x|)−ln|1−2x|)+C13(ln|1+x|)−ln|1−2x|)+C
= 13ln∣∣1+x1−2x∣∣+C13ln|1+x1−2x|+C.