t/g ABC có: A + ABC + ACB = 180o

=> 60o + ABC + ACB = 180o

=> ABC + ACB = 180o - 60o = 120o

=> ABC/2 + ACB/2 = 60o

Mà ABM = CBM = ABC/2

ACN = BCN = ACB/2

Nên MBC + NCB = ABC/2 + ACB/2 = 60o

Gọi K là giao điểm của CN và BM

T/g KBC có: KBC + KCB + BKC = 180o

=> 60o + BKC = 180o

=> BKC = 180o - 60o = 120o

Kẻ KI là phân giác BKC (I thuộc BC)

=> BKI = CKI = BKC/2 = 120o/2 = 60o

Có: BKC + NKB = 180o ( kề bù)

=> 120o + NKB = 180o

=> NKB = 180o - 120o = 60o

Xét t/g NBK và t/g IBK có:

NBK = IBK (cmt)

BK là cạnh chung

NKB = IKB = 60o

Do đó, t/g NBK = t/g IBK (g.c.g)

=> BN = BI (2 cạnh tương ứng) (1)

Tương tự như vậy ta cũng có: t/g MCK = t/g ICK (g.c.g)

=> MC = IC (2 cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) => BN + MC = BI + CI = BC (đpcm)