Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành hai nửa đường tròn). Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường trong thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:
a) Góc COD = 90 độ
b) CD = AC + BD
c) Tính AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn
d) Gọi N là giao điểm của AD và BC. Chứng minh: MN//AC
e) Gọi P là giao điểm của OC và MN, gọi Q là giao điểm của OD và MB. Chứng minh: OPMQ là hình chữ nhật
f) Xác định vị trí của M trên nửa đường trong để AC+DB đạt giá trị nhỏ nhất
g) Chứng minh: CD.MN = CM.DB
h) Chứng minh: MN//AC
i) Kẻ MH vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm của AB và CD. Chứng minh: HA.KB = KA.HB