Ta cóAMBAMB và ANBANB thuộc 2 đường tròn bằng nhau, mà chúng cùng chắn cung AB
⇒ AMB=ANB⇒ AMB=ANB
Mặt khác ta cũng có `AMN=MNB `( so le trong )
⇒ AMB−AMN=ANB−MNB⇒ AMB−AMN=ANB−MNB
⇔ NMB=ANM⇔ NMB=ANM
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong⇒AN/MB⇒AN/MB
Ta cũng cóAM/NBAM/NB => tứ giác AMBNAMBN là hình bình hành.
⇒ MAN=MBN⇒ MAN=MBN
⇔ MAB+BAN=MBA+ABN⇔ MAB+BAN=MBA+ABN
Mà MAB=ABNMAB=ABN ( so le trong ) ⇒ BAN=MBA⇒ BAN=MBA
2 góc này thuộc 2 đường tròn bằng nhau, BANBANchắn cungBNBN,MBAMBA  chắn cungAMAM
=> cungBNBN = cung` AM `( đpcm )