Giải thích các bước giải: x³ + 3ax² + 3(a²-bc)x + a³+b³+c³-3abc = 0. (*)

Nếu a=b=c=1 thì ta được pt:

x³ + 3x² = 0, có nghiệm x=-3, do đó ta đoán x=-a-b-c là nghiệm.

Thật vậy phân tích vế phải của (*) sẽ được dạng:

(x+a+b+c) . (x² + x(2a-b-c) + a²+b²+c²-ab-bc-ca) = 0.

Xét pt

x² + x(2a-b-c) + a²+b²+c²-ab-bc-ca = 0. (**)

thì:

Delta = (2a-b-c)² - 4(a²+b²+c²-ab-bc-ca) = -3b²-3c²+6bc = -3(b-c)².

Đến đây nếu như b≠c thì rõ ràng pt (**) vô nghiệm (hoặc là có nghiệm ảo).

Còn nếu b=c thì pt đã cho có thêm nghiệm:

x = (b+c-2a)/2.

Kết luận:

Nếu b≠c thì pt có nghiệm thực duy nhất x=-a-b-c.

Nếu b=c thì pt có 2 nghiệm thực là:

x=-a-b-c

và x=(b+c-2a)/2.