I. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Bản chất : Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Ứng dụng :Tính nhanh, giải các bài toán về tìm x, giải phương trình, giải bài toán bằng cách lập phương trình, rút gọn biểu thức.

Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Phương pháp : Giả sử cần phân tích đa thức A + B thành nhân tử, ta đi xác định trong A và B có nhân tử chung C, khi đó.

A + B = C.A1 + C.B1 = C(A1 + B1)

Bài toán 1: Phân tích thành nhân tử.

a. 20x – 5y

b) 4x2y – 8xy2+ 10x2y2

c. 5x(x – 1) – 3x(x – 1)

d. 20x2y – 12x3

e. x(x + y) – 6x – 6y

g. 8x4+ 12x2y4 – 16x3y4

h. 6x3– 9x2

i. 4xy2 + 8xyz

Bài toán 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.

a. 3x(x +1) – 5y(x + 1)

b. 3x3(2y – 3z) – 15x(2y – 3z)2

c. 3x(x – 6) – 2(x – 6)

d. 3x(z + 2) + 5(-x – 2)

đ. 4y(x – 1) – (1 – x)

e. 18x2(3 + x) + 3(x + 3)

g. (x – 3)3+ 3 – x

h.  14x2y – 21xy2 + 28x2y2

i. 7x(x – y) – (y – x)

k.  10x(x – y) – 8y(y – x)

Bài toán 3 : Tìm x biết.

a. 4x(x + 1) = 8(x + 1)

b. x(x – 1) – 2(1 – x) = 0

c. 2x(x – 2) – (2 – x)2= 0

d. (x – 3)3+ 3 – x = 0

e. 5x(x – 2) – (2 – x) = 0

g) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0

h) x2– 4x = 0

k) (1 – x)2 – 1 + x = 0

m) x + 6x2 = 0

n) (x + 1) = (x + 1)2

Phương pháp 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Phương pháp : Biến đổi đa thức bạn đầu về dạng quen thuộc của hằng đẳng thức, sau đó sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiên nhân tử chung.

Bài toán 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) 4x2- 1

b) 25x2- 0,09

c) 9x2 - 

d) (x - y)2- 4

e) 9 - (x - y)2

f) (x2 + 4)2 - 16x2

Bài toán 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) x4- y4

b) x2 - 3y2

c) (3x - 2y)2 - (2x - 3y)2

d) 9(x - y)2- 4(x + y)2

e) (4x2 - 4x + 1) - (x + 1)2

f) x3+ 27

g) 27x3- 0,001

h) 125x3 - 1

Bài toán 3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.

a) x4+ 2x2 + 1

b) 4x2 - 12xy + 9y2

c) -x2- 2xy - y2

d) (x + y)2 - 2(x + y) + 1

e) x3- 3x2+ 3x - 1

g) x3 + 6x2 + 12x + 8

h) x3+ 1 - x2 - x

k) (x + y)3 - x3 - y3

Phương pháp 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

Bài toàn 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.

a) x2- x - y2 - y

b) x2 - 2xy + y2 - z2

c) 5x - 5y + ax - ay

d) a3- a2x - ay + xy

e) 4x2- y2+ 4x + 1

f) x3 - x + y3 - y

Bài toán 3 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2- y2 - 2x + 2y

b) 2x + 2y - x2 - xy

c) 3a2- 6ab + 3b2 - 12c2

d) x2 - 25 + y2 + 2xy

e) a2+ 2ab + b2 - ac - bc

f) x2 - 2x - 4y2 - 4y

g) x2y - x3- 9y + 9x

h) x2(x -1) + 16(1- x)

Phương pháp 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử

Phương pháp:

Vận dụng thêm bớt hạng tử linh hoạt để đưa về nhóm hạng tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức

* Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

 

 

 

 

 

 

hoặc: 

 

Phương pháp 5: Phương pháp thêm, bớt một hạng tử.

Ví dụ :

a) y4+ 64 = y4+ 16y2 + 64 - 16y2

= (y2 + 8)2 - (4y)2

= (y2 + 8 - 4y)(y2 + 8 + 4y)

Bài toán 1 : phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x4+ 16

b) x4y4 + 64

c) x4y4 + 4

d) 4x4y4+ 1

e) x4+ 1 f) x8 + x + 1

g) x8 + x7+ 1

h) x8+ 3x4 + 1

k) x4 + 4y4

Bài toán 2 : phân tích đa thức thành nhân tử :

a) a2- b2 - 2x(a - b)

b) a2 - b2 - 2x(a + b)

Bài toán 3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) x4y4+ 4

b) 4x4 + 1

c) 64x4 + 1

d) x4 + 64

Phương pháp 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp