I. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Bản chất : Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.
Ứng dụng :Tính nhanh, giải các bài toán về tìm x, giải phương trình, giải bài toán bằng cách lập phương trình, rút gọn biểu thức.
Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
Phương pháp : Giả sử cần phân tích đa thức A + B thành nhân tử, ta đi xác định trong A và B có nhân tử chung C, khi đó.
A + B = C.A1 + C.B1 = C(A1 + B1)
Bài toán 1: Phân tích thành nhân tử.
a. 20x – 5y
b) 4x2y – 8xy2+ 10x2y2
c. 5x(x – 1) – 3x(x – 1)
d. 20x2y – 12x3
e. x(x + y) – 6x – 6y
g. 8x4+ 12x2y4 – 16x3y4
h. 6x3– 9x2
i. 4xy2 + 8xyz
Bài toán 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a. 3x(x +1) – 5y(x + 1)
b. 3x3(2y – 3z) – 15x(2y – 3z)2
c. 3x(x – 6) – 2(x – 6)
d. 3x(z + 2) + 5(-x – 2)
đ. 4y(x – 1) – (1 – x)
e. 18x2(3 + x) + 3(x + 3)
g. (x – 3)3+ 3 – x
h. 14x2y – 21xy2 + 28x2y2
i. 7x(x – y) – (y – x)
k. 10x(x – y) – 8y(y – x)
Bài toán 3 : Tìm x biết.
a. 4x(x + 1) = 8(x + 1)
b. x(x – 1) – 2(1 – x) = 0
c. 2x(x – 2) – (2 – x)2= 0
d. (x – 3)3+ 3 – x = 0
e. 5x(x – 2) – (2 – x) = 0
g) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0
h) x2– 4x = 0
k) (1 – x)2 – 1 + x = 0
m) x + 6x2 = 0
n) (x + 1) = (x + 1)2
Phương pháp 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
Phương pháp : Biến đổi đa thức bạn đầu về dạng quen thuộc của hằng đẳng thức, sau đó sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiên nhân tử chung.
Bài toán 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 4x2- 1
b) 25x2- 0,09
c) 9x2 -
d) (x - y)2- 4
e) 9 - (x - y)2
f) (x2 + 4)2 - 16x2
Bài toán 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a) x4- y4
b) x2 - 3y2
c) (3x - 2y)2 - (2x - 3y)2
d) 9(x - y)2- 4(x + y)2
e) (4x2 - 4x + 1) - (x + 1)2
f) x3+ 27
g) 27x3- 0,001
h) 125x3 - 1
Bài toán 3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) x4+ 2x2 + 1
b) 4x2 - 12xy + 9y2
c) -x2- 2xy - y2
d) (x + y)2 - 2(x + y) + 1
e) x3- 3x2+ 3x - 1
g) x3 + 6x2 + 12x + 8
h) x3+ 1 - x2 - x
k) (x + y)3 - x3 - y3
Phương pháp 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
Bài toàn 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) x2- x - y2 - y
b) x2 - 2xy + y2 - z2
c) 5x - 5y + ax - ay
d) a3- a2x - ay + xy
e) 4x2- y2+ 4x + 1
f) x3 - x + y3 - y
Bài toán 3 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2- y2 - 2x + 2y
b) 2x + 2y - x2 - xy
c) 3a2- 6ab + 3b2 - 12c2
d) x2 - 25 + y2 + 2xy
e) a2+ 2ab + b2 - ac - bc
f) x2 - 2x - 4y2 - 4y
g) x2y - x3- 9y + 9x
h) x2(x -1) + 16(1- x)
Phương pháp 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử
Phương pháp:
Vận dụng thêm bớt hạng tử linh hoạt để đưa về nhóm hạng tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức
* Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
hoặc:
Phương pháp 5: Phương pháp thêm, bớt một hạng tử.
Ví dụ :
a) y4+ 64 = y4+ 16y2 + 64 - 16y2
= (y2 + 8)2 - (4y)2
= (y2 + 8 - 4y)(y2 + 8 + 4y)
Bài toán 1 : phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x4+ 16
b) x4y4 + 64
c) x4y4 + 4
d) 4x4y4+ 1
e) x4+ 1 f) x8 + x + 1
g) x8 + x7+ 1
h) x8+ 3x4 + 1
k) x4 + 4y4
Bài toán 2 : phân tích đa thức thành nhân tử :
a) a2- b2 - 2x(a - b)
b) a2 - b2 - 2x(a + b)
Bài toán 3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a) x4y4+ 4
b) 4x4 + 1
c) 64x4 + 1
d) x4 + 64
Phương pháp 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp