a)

Áp dụng hệ thức lượng vào ΔABC⊥A,AHΔABC⊥A,AH là đường cao ta có:

AB2=BH.BC=2.8=16⇒AB=6AB2=BH.BC=2.8=16⇒AB=6cm

CH=BC−BH=8−2=6cmCH=BC−BH=8−2=6cm

AH2=BH.CH=2.6=12⇒AH=2√3AH2=BH.CH=2.6=12⇒AH=23cm

AC2=CH.CB=6.8=48⇒AC=4√3AC2=CH.CB=6.8=48⇒AC=43cm

b)

Áp dụng hệ thức lượng vào ΔABK⊥A,ADΔABK⊥A,AD là đường cao ta có:

AB2=BD.BKAB2=BD.BK

mà AB2=BH.BCAB2=BH.BC (theo câu a)

⇒BD.BK=BH.BC⇒BD.BK=BH.BC (điều phải chứng minh)

c)

Áp dụng công thức tính diện tích hình tam giác bằng 1/2 tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa

SABC=1/2AB.AC.sinASABC=1/2AB.AC.sin⁡A (hình 2)

Thật vậy:

SABC=1/2.CH.AB=1/2.AB.AC.CHAC=1/2.AB.AC.sinASABC=1/2.CH.AB=1/2.AB.AC.CHAC=1/2.AB.AC.sin⁡A

Ta áp dụng công thức tính diện tích tam giác đã chứng minh ở trên:

SBHD=1/2BH.BD.sinˆDBHSBHD=1/2BH.BD.sin⁡DBH^

SKBC=1/2BK.BCsinˆKBCSKBC=1/2BK.BCsin⁡KBC^

ˆDBH=ˆKBCDBH^=KBC^ cùng là một góc

⇒SBHDSKBC=BH.BDBK.BC⇒SBHDSKBC=BH.BDBK.BC

=2/8.BDBK=1/4.BD2BK.BD=2/8.BDBK=1/4.BD2BK.BD

=1/4BD2AB2=1/4BD2AB2

=1/4cos2ˆABD=1/4cos2⁡ABD^

⇒SBHD=1/4.SKBC.cos2ˆABD