a) 

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB(gt)

N là trung điểm của AC(gt)

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒MN//BC và MN=BC/2(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

Ta có: MN//BC(cmt)

mà I∈MN(gt)

và H∈BC(gt)

nên IN//HC

Xét ΔAHC có 

N là trung điểm của AC(gt)

IN//HC(cmt)

Do đó: I là trung điểm của AH(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)

b)

Ta có: Q đối xứng với P qua N(gt)

nên N là trung điểm của QP

Xét ΔABC có 

P là trung điểm của BC(gt)

N là trung điểm của AC(gt)

Do đó: PN là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒PN//AB và PN=AB/2(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

mà Q∈PN và PN=PQ/2(N là trung điểm của PQ)

nên AB//PQ và AB=PQ

Xét tứ giác ABPQ có 

AB//PQ(cmt)

AB=PQ(cmt)

Do đó: ABPQ là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)