Ta có: A=1⋅3+3⋅5+5⋅7+...+99⋅101A=1⋅3+3⋅5+5⋅7+...+99⋅101

⇒A=1(1+2)+3⋅(3+2)+...+99(99+2)⇒A=1(1+2)+3⋅(3+2)+...+99(99+2)

⇒A=(12+32+52+...+972+992)+2(1+3+5+...+97+99)⇒A=(12+32+52+...+972+992)+2(1+3+5+...+97+99)

Đặt M=12+32+52+992M=12+32+52+992

⇒M=(12+22+32+...+1002)−22(12+22+32+502)⇒M=(12+22+32+...+1002)−22(12+22+32+502)

Tính dãy tổng quát N=12+22+32+...+n2N=12+22+32+...+n2

⇒N=1(0+1)+2(1+1)+3(2+1)+...+n[(n−1)+1]⇒N=1(0+1)+2(1+1)+3(2+1)+...+n[(n−1)+1]

⇒N=[1⋅2+2⋅3+...+(n−1)n]+(1+2+3+...+n)⇒N=[1⋅2+2⋅3+...+(n−1)n]+(1+2+3+...+n)

⇒N=n(n+1)⋅[(n−1):3+1:2]=n(n+1)⋅(2n+1):6⇒N=n(n+1)⋅[(n−1):3+1:2]=n(n+1)⋅(2n+1):6

Áp dụng vào M ta được:

M=100⋅101⋅201:6−4⋅50⋅51⋅101:6=166650M=100⋅101⋅201:6−4⋅50⋅51⋅101:6=166650

⇒A=166650+2(1+99)⋅50:2⇒A=166650+2(1+99)⋅50:2

⇒A=166650+5000=171650⇒A=166650+5000=171650

Vậy A=171650