a) Xét ΔBANΔBAN và ΔBAPΔBAP có:

BABA chung

ˆBAN=ˆBAP=90oBAN^=BAP^=90o (do BABA là đường trung trực của NPNP)

AN=APAN=AP (do BABA là đường trung trực của NPNP)

⇒ΔBAN=ΔBAP⇒ΔBAN=ΔBAP (c.g.c)

⇒BN=BP⇒BN=BP (hai cạnh tương ứng bằng nhau) (1)

ˆNBA=ˆPBANBA^=PBA^ (hai góc tương ứng)

⇒ΔBNP⇒ΔBNP cân đỉnh N.

Xét ΔNMB⊥MΔNMB⊥M có:

ˆM>ˆN⇒BN>BMM^>N^⇒BN>BM (2)

Từ (1) và (2) suy ra BP>BMBP>BM

(Cách khác: ΔBNPΔBNP có BABA vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao nên ΔBNPΔBNP cân đỉnh B.

⇒BN=BP⇒BN=BP

Mà ΔNMB⊥M⇒ˆM>ˆN⇒BN>BMΔNMB⊥M⇒M^>N^⇒BN>BM (hai hệ giữa góc và cạnh trong tam giác)

Kết hợp với BN=BP (chứng minh trên) ⇒BP>BM⇒BP>BM)

b) Xét hai tam giác vuông ΔMBNΔMBN và ΔCBPΔCBP có:

ˆB1=ˆB2B1^=B2^ (đối đỉnh)

BN=BPBN=BP (chứng minh ở câu a)

⇒ΔMBN=ΔCBP⇒ΔMBN=ΔCBP (cạnh huyền-góc nhọn)

c) Ta có: ˆB1=ˆB2B1^=B^2 (đối đỉnh)

ˆNBA=ˆPBANBA^=PBA^ (chứng minh trên)

⇒ˆB1+ˆNBA=ˆB2+ˆPBA⇒B1^+NBA^=B2^+PBA^

hay ˆMBA=ˆCBAMBA^=CBA^

Xét ΔMBAΔMBA và ΔCBAΔCBA có:

BM=BCBM=BC (do ΔMBN=ΔCBPΔMBN=ΔCBP chứng minh câu b)

ˆMBA=ˆCBAMBA^=CBA^ (chứng minh trên)

BABA chung

⇒ΔMBA=ΔCBA⇒ΔMBA=ΔCBA (c.g.c)

⇒ˆBAM=ˆBAC⇒BAM^=BAC^ (hai góc tương ứng)

⇒AB⇒AB là phân giác ˆMACMAC^.