a)

+) Do tam giác ABC cân tại A nên trung tuyến AH đồng thời là đường caio.

Vậy nên ˆAHB=90oAHB^=90o

Theo tính chất góc ngoài của tam giác, ta có:

ˆIAB=ˆAHB+ˆHBA=90o+ˆHBA=ˆEBA+ˆHBA=ˆCBEIAB^=AHB^+HBA^=90o+HBA^=EBA^+HBA^=CBE^

Xét tam giác ABI và tam giác BEC có:

AI = BC (gt)

BA = EB (gt)

ˆIAB=ˆCBEIAB^=CBE^  (cmt)

⇒ΔABI=ΔBEC(c−g−c)⇒ΔABI=ΔBEC(c−g−c)

+) Gọi giao điểm của EC với AB và BI lần lượt là J và K.

Do ΔABI=ΔBEC⇒ˆKBJ=ˆBEKΔABI=ΔBEC⇒KBJ^=BEK^

Vậy thì ˆKBJ+ˆKJB=ˆBEK+ˆKJB=90oKBJ^+KJB^=BEK^+KJB^=90o

Suy ra ˆBKJ=90oBKJ^=90o hay BI⊥CEBI⊥CE

b) Gọi O là trung điểm MN. Ta thấy DN và DM là phân giác của hai góc kề bù nên chúng vuông góc với nhau.

Vậy tam giác DMN vuông tại D. Khi đó ta có DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên DO  =  MN/2

Vậy DO = OM = OM hay các tam giác DOM và DON cân tại O.

Ta có: ˆDOM=180o−2ˆDMO=180o−2(ˆMDB+ˆMBD)DOM^=180o−2DMO^=180o−2(MDB^+MBD^)

=180o−2.ˆMDB−2.ˆMBD=180o−ˆBDC−ˆABC=180o−2.MDB^−2.MBD^=180o−BDC^−ABC^

=180o−ˆBDC−ˆACB=ˆDBO=180o−BDC^−ACB^=DBO^

Vậy tam giác DBO cân tại D hay DB = DO.

Vậy nên BD = MN/2.