a) Vì MD⊥AB(gt)MD⊥AB(gt)

=> ˆMDA=900.MDA^=900.

Vì ME⊥AC(gt)ME⊥AC(gt)

=> ˆMEA=900.MEA^=900.

Vì ΔABCΔABC vuông tại A(gt)A(gt)

=> ˆDAE=900.DAE^=900.

Xét tứ giác ADMEADME có:

ˆMDA=ˆMEA=ˆDAE=900(cmt)MDA^=MEA^=DAE^=900(cmt)

=> Tứ giác ADMEADME là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật).

b) Vì:

{DM⊥AB(gt)AC⊥AB(gt){DM⊥AB(gt)AC⊥AB(gt)

=> DMDM // ACAC (từ vuông góc đến song song).

Hay DMDM // ECEC (1).

Mà MM là trung điểm của BC(gt)BC(gt)

=> D là trung điểm của ABAB (định lí đường trung bình của tam giác).

Xét ΔABCΔABC có:

D là trung điểm của AB(cmt)AB(cmt)

MM là trung điểm của BC(gt)BC(gt)

=> DMDM là đường trung bình của ΔABC.ΔABC.

=> DM=12ACDM=12AC (tính chất đường trung bình của tam giác).

+ Vì:

{ME⊥AC(gt)AB⊥AC(gt){ME⊥AC(gt)AB⊥AC(gt)

=> MEME // ABAB (từ vuông góc đến song song).

Mà MM là trung điểm của BC(gt)BC(gt)

=> EE là trung điểm của ACAC (định lí đường trung bình của tam giác).

=> EC=12ACEC=12AC (tính chất trung điểm).

Mà DM=12AC(cmt)DM=12AC(cmt)

=> DM=ECDM=EC (2).

Từ (1) và (2) => Tứ giác CMDECMDE là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

c) Theo câu b) ta có Tứ giác CMDECMDE là hình bình hành.

=> DEDE // CMCM (định nghĩa hình bình hành).

Hay DEDE // HM.HM.

=> Tứ giác MHDEMHDE là hình thang (định nghĩa hình thang).

Xét ΔABCΔABC có:

MM là trung điểm của BC(gt)BC(gt)

EE là trung điểm của AC(cmt)AC(cmt)

=> MEME là đường trung bình của ΔABC.ΔABC.

=> ME=12ABME=12AB (tính chất đường trung bình của tam giác).

Mà AD=12ABAD=12AB (vì D là trung điểm của ABAB ).

=> ME=ADME=AD (3).

Xét ΔABHΔABH vuông tại H(gt)H(gt) có:

D là trung điểm của AB(cmt)AB(cmt)

=> HDHD là đường trung tuyến của tam giác vuông ABH.ABH.

=> HD=12ABHD=12AB (tính chất tam giác vuông).

Mà AD=12ABAD=12AB (như ở trên).

=> HD=ADHD=AD (4).

Từ (3) và (4) => ME=HD.ME=HD.

Xét hình thang MHDEMHDE có:

ME=DH(cmt)ME=DH(cmt)

=> Hình thang MHDEMHDE là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân).