a) Vì MD⊥AB(gt)MD⊥AB(gt)
=> ˆMDA=900.MDA^=900.
Vì ME⊥AC(gt)ME⊥AC(gt)
=> ˆMEA=900.MEA^=900.
Vì ΔABCΔABC vuông tại A(gt)A(gt)
=> ˆDAE=900.DAE^=900.
Xét tứ giác ADMEADME có:
ˆMDA=ˆMEA=ˆDAE=900(cmt)MDA^=MEA^=DAE^=900(cmt)
=> Tứ giác ADMEADME là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật).
b) Vì:
{DM⊥AB(gt)AC⊥AB(gt){DM⊥AB(gt)AC⊥AB(gt)
=> DMDM // ACAC (từ vuông góc đến song song).
Hay DMDM // ECEC (1).
Mà MM là trung điểm của BC(gt)BC(gt)
=> D là trung điểm của ABAB (định lí đường trung bình của tam giác).
Xét ΔABCΔABC có:
D là trung điểm của AB(cmt)AB(cmt)
MM là trung điểm của BC(gt)BC(gt)
=> DMDM là đường trung bình của ΔABC.ΔABC.
=> DM=12ACDM=12AC (tính chất đường trung bình của tam giác).
+ Vì:
{ME⊥AC(gt)AB⊥AC(gt){ME⊥AC(gt)AB⊥AC(gt)
=> MEME // ABAB (từ vuông góc đến song song).
Mà MM là trung điểm của BC(gt)BC(gt)
=> EE là trung điểm của ACAC (định lí đường trung bình của tam giác).
=> EC=12ACEC=12AC (tính chất trung điểm).
Mà DM=12AC(cmt)DM=12AC(cmt)
=> DM=ECDM=EC (2).
Từ (1) và (2) => Tứ giác CMDECMDE là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).
c) Theo câu b) ta có Tứ giác CMDECMDE là hình bình hành.
=> DEDE // CMCM (định nghĩa hình bình hành).
Hay DEDE // HM.HM.
=> Tứ giác MHDEMHDE là hình thang (định nghĩa hình thang).
Xét ΔABCΔABC có:
MM là trung điểm của BC(gt)BC(gt)
EE là trung điểm của AC(cmt)AC(cmt)
=> MEME là đường trung bình của ΔABC.ΔABC.
=> ME=12ABME=12AB (tính chất đường trung bình của tam giác).
Mà AD=12ABAD=12AB (vì D là trung điểm của ABAB ).
=> ME=ADME=AD (3).
Xét ΔABHΔABH vuông tại H(gt)H(gt) có:
D là trung điểm của AB(cmt)AB(cmt)
=> HDHD là đường trung tuyến của tam giác vuông ABH.ABH.
=> HD=12ABHD=12AB (tính chất tam giác vuông).
Mà AD=12ABAD=12AB (như ở trên).
=> HD=ADHD=AD (4).
Từ (3) và (4) => ME=HD.ME=HD.
Xét hình thang MHDEMHDE có:
ME=DH(cmt)ME=DH(cmt)
=> Hình thang MHDEMHDE là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân).