Bài 2. Cho tứ diện \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\). Gọi \(H, K\) lần lượt là trực tâm của tam giác \(ABC\) và \(SBC\).
a) Chứng minh ba đường thẳng \(AH, SK, BC\) đồng quy.
b) Chứng minh rằng \(SC\) vuông góc với mặt phẳng \((BHK)\) và \(HK\) vuông góc với mặt phẳng \((SBC)\).
c) Xác định đường vuông góc chung của \(BC\) và \(SA\).
Giải

a) Trong \((ABC)\), gọi \(E = AH ∩ BC\).
\(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) nên \(AE\bot BC\)   (1)
\(SA\bot (ABC)\Rightarrow SA\bot BC\)                             (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(BC ⊥ (SAE)\)\( \Rightarrow BC ⊥ SE\).
\(K\) là trực tâm của tam giác \(SBC\Rightarrow SE \) đi qua \(K\) \(\Rightarrow AH, BC, SK\) đồng quy tại \(E\).
b) Trong \((ABC)\) gọi \(F = BH ∩ AC\), trong \((SBC)\) gọi \(D = BK ∩ SC\). Khi đó \((BHK) \equiv (BDF)\)
\(K\) là trực tâm của tam giác \(SBC\) nên \(BD\bot SC\)     (*)
\(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) nên \(BF\bot AC\)    (3)
\(SA\bot (ABC)\Rightarrow SA\bot BF\)                                      (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(BF\bot (SAC)\Rightarrow BF\bot SC\)      (2*)
Từ (*) và (2*) suy ra \(SC\bot (BDF) \equiv (BHK)\).
c) \(AE\bot BC\) và \(SA\bot AE\Rightarrow AE\) là đường vuông góc chung của \(BC\) và \(SA\).