Bài 3. Hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) và có \(SA = a, AB = b, AC = c\). Mặt cầu đi qua các đỉnh \(A, B, C, S\) có bán kính \(r\) bằng:
(A) \({{2(a + b + c)} \over 3}\) ;                                (B) 2\(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \) ;
(C) \({1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \) ;                (D) \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \) .
Giải

 
Tâm \(I\) của mặt cầu đi qua \(A,B,C,S\) là giao của trục đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và mặt phẳng trung trực của \(SA\)
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên trục đường tròn \(Mx\) với \(M\) là trung điểm của \(BC\).
Bán kính mặt cầu \(R=IA\) 
\(MI={a\over 2}\), \(AM={1\over 2} BC\) 
\(BC=\sqrt{b^2+c^2}\)
Do đó \(R={1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)
Chọn (C) \({1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)